2011年考研数学三真题及答案

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1、2011年考研数学三真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1)已知当→0时，3ݏݏ3与是等价无穷小，则(A)1ͳ4(B)1ͳ4(C)3ͳ4(D)3ͳ4【答案】C。【解析】【方法一】3ݏݏ3333ݏ푚ݏ푚(洛必达法则)→0→01ݏ݊3ݏ33ݏ푚(洛必达法则)→0(1)21ݏ3ݏ3(ݏ푚݊ݏ푚)(3)→0

2、2→0211݊122由此得4。【方法二】由泰勒公式知3ݏ݊(3)333ݏ33݊(3)33333则3ݏݏ333݊݊()2343݊3~43(→0)故3ͳ4。【方法三】3ݏݏ33ݏ−3݊3ݏ3ݏ푚ݏ푚→0→013ݏ−3ݏ3ݏ푚݊ݏ푚→0→0113(3)(3)31ݏ푚݊ݏ푚→0→011݊(3)22812

3、故4综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算高等数学—一元函数微分学—洛必达(L'Hospital)法则22(3)(2)已知()在0处可导，且00ͳ则ݏ푚→03(A)2'(0)(B)'(0)(C)'(0)(D)0【答案】B。【解析】【方法一】加项减项凑0处导数定义22(3)2−2023݊2(0)ݏ푚ݏ푚→03→03−03(0)ݏ푚2→03'02'0'(

4、0)【方法二】拆项用导数定义22(3)3ݏ푚ݏ푚2ݏ푚→03→0→03由于00，由导数定义知3ݏ푚'0ͳݏ푚'(0)→0→0322(3)''所以ݏ푚020'(0)→03【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数ͳ则22(3)323ݏ푚ݏ푚−1→03→03而对于㈱'01ͳ显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应选(B)【方法四】由于()在0处可导，则0݊'0݊'0݊

5、()3'03݊(3)22(3)2'0݊()2'03݊(3)ݏ푚ݏ푚→03→03'02'0'(0)综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数和微分的四则运算(3)设{}是数列，则下列命题正确的是(A)若1收敛，则1(21݊2)收敛。(B)若1(21݊2)收敛，则1收敛。(C)若1收敛，则1(21−2)收敛。(D)若1(21

6、−2)收敛，则1收敛。【答案】A。【解析】若1收敛，则该级数加括号后得到的级数仍收敛综上所述，本题正确答案是A。【考点】高等数学—无穷级数—级数的基本性质与收敛的必要条件(4)设4ݏͳt4ͳt4ͳ则ͳtͳt的大000小关系为(A)൏t൏t(B)൏t൏t(C)t൏൏t(D)t൏t൏【答案】B。【解析】同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小，由于当0൏൏时，0൏ݏ൏൏1൏4又因为为(0ͳ݊)上的单调增函

7、数，所以ݏ൏൏ͳ0൏൏4故4ݏ൏4൏4000即൏t൏t综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质(5)设为3阶矩阵，将第2列加到第1列得矩阵ͳ再交换的100100第2行和第3行得单位矩阵，记1110ͳ2001ͳ001010则(A)(B)11212(C)(D)12121【答案】D。【解析】本题是常规的初等变换、初等矩阵的考题矩阵的初等行变换是左乘初等矩阵，矩阵的初等列变换是右乘

8、初等矩阵100100按题意110，001001010从而1ͳ2，从