三角函数的图象与性质教案(1)

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1、三角函数的图象与性质一、三角函数图像与性质1、周期函数（1）周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。（2）最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。注：如果函数y=f(x)的周期是T，则函数y=f(ωx)周期是，而不是。2、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y=sinxy=cosxY=tanx图象定义域x∈Rx∈Rx∈R且值域{y

2、-1≤y≤1}{y

3、-1≤y≤1}R单调性最值

4、无最值奇偶性奇偶奇对称性对称中心（kπ,0）,k∈Z（kπ+,0）,k∈Z（,0）,k∈Z对称轴x=kπ+,k∈Zx=kπ,k∈Z无周期2π2ππ注：y=sinx与y=cosx的对称轴方程中的x都是它们取得最大值或最小值时相应的x，对称中心的横坐标都是它们的零点。3．函数最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。例1．（2009浙江理）已知是实数，则函数的图象不可能是()解析对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了．答案：D4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx

5、＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的

6、图象。例2．试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象解析：y=sin（2x+）例3．(2009山东卷理)将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是().A.B.C.D.解析将函数的图象向左平移个单位,得到函数即的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为,故选B.5．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。例4．（2009辽宁理，8）已知函数=Acos()的图象如图所示，，则=（）A.B.C.-D

7、.答案C图例5．（1）（2009辽宁卷理）已知函数=Acos()的图象如图所示，，则=()A.B.C.－D.6．对称轴与对称中心：的对称轴为，对称中心为；的对称轴为，对称中心为；对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。1.函数的图象的一条对称轴为（）A、B、C、D、2.函数的图象关于（）　　A、原点对称B、轴对称C、直线对称D、直线对称7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；8．求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和

8、定义法9．五点法作y=Asin（ωx+）的简图：五点取法是设x=ωx+，由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。二、三角函数的图象与性质应用1、与三角函数有关的函数的定义域相关链接（1）与三角函数有关的函数的定义域①与三角函数有关的函数的定义域仍然是使函数解析式有意义的自变量的取值范围；②求此类函数的定义域最终归结为用三角函数线或三角函数的图象解三角不等式。（2）用三角函数线解sinx>a(cosx>a)的方法①找出使sinx=a(cosx=a)的两个x值的终边所丰位置；②根据变化趋势，确定不等式的解集。（3）用三角函数的图象解sinx>a(cosx>a，tanx>

9、a)的方法①作直线y=a，在三角函数的图象了找出一个周期内（不一定是[0，2π]）在直线y=a上方的图象；②确定sinx=a(cosx=a，tanx=a)的x值，写出解集。注：关于正切函数的不等式tanx>a（tanx