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1、函数解析式在给定条件下求函数的解析式f(x),是高中数学中经常涉及的内容,形式多样,没有一定的程序可循,综合性强,解起来有相当的难度,但是只要认真仔细去探索,还是有一些常用之法.下面谈谈求函数解析式f(x)的方法.一、配凑法例1已知f()=+,求f(x).xx+1x2x2+1x1∴f(x)=x2-x+1(x≠1).解:∵f()=+xx+1x2x2+1x1=1++x21x1=(+1)2-(+1)+1x1x1并且≠1,xx+1=()2-()+1xx+1xx+1评注:若在给出的函数关系式中 与 的关系不明显时,要通过恒等变形寻找二者的关系.+x2x2+1x1xx+1二、换元法所以
2、f(x)=2lnx-3(x>0).评注:通过换元,用“新元”代替原表达式中的“旧元”,从而求得f(x).又如:已知f(cosx-1)=cos2x.求f(x).例2已知f(ex)=2x-3,求f(x).解:设t=ex,则x=lnt且t>0,有:f(t)=2lnt-3(t>0).f(x)=2x2+4x+1(-2≤x≤0)三、解方程组法例3已知f(x)+f()=1+x(x≠0,1),求f(x).xx-1解:记题中式子为①式,用代替①中的x,整理得:xx-1f()+f()=②,xx-11-x1x2x-1再用代替①中的x,整理得:1-x1f()+f(x)=③,1-x11-x2-x解由①,②
3、,③组成的方程组,得:2x(x-1)x3-x2-1f(x)=.评注:把f(x),f(),f()都看作“未知数”,把已知条件化为方程组的形式解得f(x).又如:已知af(x)+bf()=cx,其中,
4、a
5、≠
6、b
7、,求f(x).xx-11-x11xf(x)=(ax-).a2-b2cbx四、递推求和法例4已知f(n)-f(n-1)=an,n为不小于2的自然数,a≠0且f(2)=8,求f(n)的解析式.解:由已知,f(3)-f(2)=a3,f(4)-f(3)=a4,…,f(n)-f(n-1)=an,将这(n-2)个式子相加,得:评注:这是运用数列中递推公式的思想.f(n)-f(2)=a3
8、+a4+…+an=n-2(a=1时);a3(1-an-2)(1-a)-1(a≠1时).∴f(n)=n+6(a=1时);8+(a3-an+1)(1-a)-1(a≠1时).∵f(2)=8,五、待定系数法例5设f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1,求f(x).解:由原式可知f[g(x)]中的g(x)一个是2x,另一个是3x+1,都是一次式.而右端是二次式，故f(x)是一个二次式,则可设:f(x)=ax2+bx+c,从而有:f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c).比较系数得:a=1,b=0,c=-1.从而有:f(x)=x2-1.评注:先分析出
9、f(x)的基本形式,再用待定系数法,求出各系数.又由已知f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1,∴13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)与13x2+6x-1表示同一个式子,即13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)≡13x2+6x-1.例6已知f{f[f(x)]}=27x+13,且f(x)是一次式,求f(x).解:由已知可设f(x)=ax+b,则:六、迭代法f[f(x)]=a2x+ab+b.∴f{f[f(x)]}=a3x+a2b+ab+b.由题意知:a3x+a2b+ab+b≡27x+13.比较系数得:a=3,b=1.故f(x)=3x+1.评注:本题的解法除了
10、用迭代法,还用了待定系数法.七、数学归纳法例7已知f(n+1)=2+f(n)(n∈N+),且f(1)=a,求f(n).12解:f(1)=af(2)=2+a12=4-21+2-1a,故猜想:f(n)=4-23-n+21-na,用数学归纳法证明如下:f(5)=2+f(4)12f(3)=2+f(2)=3+a1214=4-20+2-2a,f(4)=2+f(3)=+a127218=4-2-1+2-3a,=4-2-2+2-4a,=4-22+20a,证明从略.故f(n)=4-23-n+21-na.评注:先用不完全归纳法摸索出规律,再用数学归纳法证明,适用于自然数集上的函数.★课堂练习1.已知f
11、(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x-1,求f(x)的解析式.5.若3f(x-1)+2f(1-x)=2x,求f(x).2.已知f(4x+1)=,求f(x)的解析式.4x+616x2+14.已知2f(x)+f(-x)=10x,求f(x).6.已知f(0)=1,f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x).7.已知f(x)是R上的偶函数,且f(x+4)=f(-x),当x∈(-2,2)时,f(x)=-x2+1,求当x∈(-6,-2)时f(x)的解析式.f(x)=-2x+1
