11 存在性问题和最值问题解法

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1、关节十一“存在性”问题和“最值”问题的解决方法一、关于存在性问题1、什么样的情况会引发出“存在性问题？从一个整体情况或一个变化过程中，判断满足某种特殊要求的情况是否存在，并在存在时将其寻找出来，这样的问题就是“存在性”问题。如：日一二三四五六123456789101112131415161718192021222324252627282930题1如某月的月历，像图中那样用方框框住4个数字，是否存在以下情况：使框住的4个数字和为100？为90？若存在，请写出这4个数字，若不存在，请说明理由。题2如图（1），四边形是

2、边长为6的正方形，动点P从A点P出发，以每秒1个单位的速度沿边向点运动，动点BCCDDA从点出发，以每秒3个单位的速度沿边运动，两点同时出发，点P到达处时两点运动停止，记的运动时间为。（1）是否存在时刻，使线段将正方形的周长分为相等的两部分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。ABCADBCQP（2）是否存在时刻，，使线段将正方形的面积分为1：2两部分，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。（1）（2）题3如图（2），在中，，在斜边上是否存在点，使以为圆心，以为半径的圆，恰好与相切？若存在，请作出⊙（保留作

3、图痕迹）；若不存在，请说明理由。像以上三个题目都属于“存在性”问题。2、“存在性”问题的基本类型和解决方法“存在性”问题大体可分为两类：Ⅰ、由数量关系确定的“存在性”问题（即要找的是满足一个“特殊”数量方面的要求）；Ⅱ、由位置关系确定的“存在性”问题（即要找的是满足一个“特殊”位置方面的要求）。（1）由数量关系确定的“存在性”问题这种类型的“存在性”问题，解决的方法主要是借助于构造方程。例1（见前面的题1）【观察与思考】第一，框住的4个数字，若设左上角的数字为，则这4个数字的和为。本题就是判断图中有无数字，使和分

4、别为100，90？有这样的数字时，求出的值。第二，落实的办法就是根据和为100，90分别构造关于的方程，判断相应的方程是否有解，有解时求出解来。解：设框住的4个数为则它们的和为：，令，解得。21222829即当框住的4个数字为时，它们的和恰为100。又，令，解得，这样的不在月历中。所以，不存在框住的4个数字的和为90的情况。【说明】在这里，把方框中的第一个数字看作一个变量（范围是1—22），框内的4个数字之和是的函数，而“和为100，为90”就是对函数值的特定要求，从而变成了求特定函数值所对应的自变量的值，那当然

5、就是解方程。例2（见前面的题2）ADBCQPADBCQPADBCQP（1`）（1``）（1```）【观察与思考】容易知道，按点在上，上，上，和的运动全过程可分为三段：①当时，如图（1`），②当时，如图（1``），③当时，如图（1```）。应分类考虑将正方形分成部分的周长与面积的情况。解：（1）①当时，点在AB上，点在上，正方形的周长被分成的两部分中，顶点B所在部分显然小于（正方形的周长），而另一部分大于（正方形的周长）。因此，不可能有二者相等的时刻；②当时，点在上，顶点B所在的部分的“周长”为，另一部分的“周长”

6、为。令，解得。（或令12，也得同样的结果）。③当时，点在AB上，点在AD上，分成的两部分中，含顶点B的部分的“周长”显然大于（的周长），因此不存在二者相等的时刻。所以，存在，使将的周长分为相等的两部分（其实，此时和分别为边AB，的中点）。（2）①当时，，，令，解得（与矛盾，舍去）。②当时，令或，分别解得（矛盾，舍去），。③当时，令，解得（舍去），（舍去）。所以，存在时刻和，使得把正方形的面积分为1：2的两部分。【说明】在，的运动过程中，正方形的周长与面积总是被分为两部分，且两部分的值在运动中变化着，现对变化着的值

7、提出特定的要求，以确定这种特殊情况是否真的出现在运动过程之中，这正是“存在性”问题的典型特征，而构造出相应的方程来求解。也真是普遍适用的方法。例3如图（3），在直角梯形中，。动点从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位的速度向点B运动，点，分别从点D，C同时出发，设运动时间为（秒）。ADPBCQ（1）是否存在时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。（2）是否存在时刻，使得，若存在，求出的值；（3）若不存在，请说明理由。【观察与思考】（1）和（

8、2）应分别由“”和“”出发构造关于的方程求解。ADPBCQM解：（1）假若有作交射线DA于，如图（3`）则。在中，，（3`），，由，解得（秒）。即（秒）时。（2）假若有，如图（3``），易知此时四边形为平行四边形，，即，解得，但点只在线段CB上运动，即不合题意，舍去。ADPBCQP不存在时刻，使得。【说明】在的运动过程中，线段和的位置（3``）关系是变化的，本题是从中考虑