立体几何向量法+直线方向向量和平面法向量(学生版)

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1、直线的方向向量与平面的法向量（学生版）教学目标：理解直线的方向向量和平面的法向量；会用待定系数法求平面的法向量教学重点：直线的方向向量和平面法向量的求法教学难点：平面法向量的求法教学过程：一、情境引入在平面向量中，我们借助向量研究了平面内两条直线平行、垂直等位置关系。如何用向量刻画空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？二、概念讲解1．直线的方向向量：把直线上的向量（）以及与共线的非零向量叫做直线的方向向量2．平面的法向量如果表示非零向量的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量垂直于平面，记作

2、。此时，我们把向量叫做平面的法向量。一个平面的法向量有个，过一个定点作平面的法向量有个注意：（1）法向量一定是非零向量;（2）一个平面的所有法向量都互相平行;（3）向量是平面的法向量，向量与平面α平行或在平面α内，则有。三、空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系的向量表示设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则1.直线与直线平行：∥；2.直线与直线垂直：⊥；3.直线与平面平行：∥；4.直线与平面垂直：⊥；5.平面与平面平行：∥6.平面与平面垂直：⊥四、数学应用例1：在正方体ABCD—ABCD中，求

3、证：是平面ACD的法向量。变式训练：在正方体ABCD—ABCD中，求平面ACD的一个法向量。小结:求平面法向量的步骤：（1）设平面的一个法向量为；（2）找出平面内不共线的两个向量；（3）列方程组；（4）解方程组，取其中一个解，得平面的法向量。练习：在空间直角坐标系中,已知,,求平面ABC的一个法向量.例2：如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE。求证：MN//平面CDE例3：已知正方体中，分别为，的中点，求证：平面例4：如图，在四

4、棱锥中，底面是正方形，侧棱平面，，是中点，作交于。求证：（1）平面（2）平面例5：设动点P在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的体对角线BD1上，记，当∠APC为钝角时，求的取值范围课后作业：班级______学号______姓名__________1.直线的方向向量分别是，直线的位置关系是（）A、平行B、垂直C、相交但不垂直D、重合2.的法向量分别是，则平面的位置关系是（）A、平行B、垂直C、相交但不垂直D、以上都不对3.直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是___________4

5、.,求平面ABC的法向量。5.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C．6.如图，在正方体中，、分别是，的中点（1）求证：；（2）求证：（3）棱上是否存在点，使平面，若存在，确定的位置，若不存在，说明理由7.在四棱锥中，底面为正方形，侧棱垂直于，,是的中点，做于点，证明：（1）平面；（2）平面8.是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图.ABCDPE444422若为的中点，求证：面