用叠加法求梁的变形

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1、§7-3用叠加法求梁的变形.概述：我们上面所讲的直接积分法是求梁变形的基本方法，但在载荷复杂的情况下，要列多段弯矩方程，从而产生很多的积分常数。运算非常复杂。现在我们将要介绍的叠加法，基本上克服了这一缺点，为工程上常采用的较方便的计算方法之一。我们在本门课的一开始就曾讲过，材料力学所研究的范围是线弹性范围，变形是小变形，梁的挠度和转角与作用在梁上的载荷成线性关系。故而当梁同时受几个载荷作用而使梁产生的变形，就等于每一个载荷单独作用下梁产生的变形的代数和。这种用每一个载荷单独作用下梁产生的变形的代数和来代替梁同时受几个载荷共同作用下产生

2、的总变形的方法，我们就称其为叠加法。二.举例：例7-4.图示一简支梁受均布载荷及集中力偶作用，试用叠加法求梁跨中点处的挠度和支座处的转角。AB（1）首先将梁上的载荷分成两种，如下图，并由附录中查得它们单独作用下，跨中处的挠度和支座处的转角为：解：ABAB(2).进行代数相加，求得：例7-5.图示，一受载荷的悬臂梁，求自由端A点处的挠度和转角解：在分析这种梁的时候，我们把它分成两段来考虑：由附录中，我们可查得：由CA段上无载荷，CA段又是自由端，所以CA段梁变形后仍保持直杆，如图所示，由杆件的变形连续条件可知：例题7.6变截面梁如图示

3、，试用叠加法求自由端的挠度ωc.§7-4简单静不定梁的解法.概述对于静不定梁，一般的解决办法有三种：叠加法，能量法，力法，其中的能量法和力法我们将在以后的几章中介绍，现在我们就用叠加法来解静不定梁。二.方法：(2).根据解除约束处的原来约束性质，即变形特点，列出变形关系。(1).首先将多余约束解除，代之以支座反力，从而使静不定结构成为静定结构。(3).利用物理关系得出补充方程(4).联立求解补充方程与静力平衡关系三.举例：例7-10.图示超静定梁上作用均布载荷，集度为q，试求其支座反力并绘出该梁的内力图。(1).由附表可查得：(2).

4、变形相容条件：得：(a)(b)(c)(3).将(a)(b)代入(c)得：目录§7-5梁的刚度校核.刚度条件：土建工程：以强度为主，一般强度条件满足了，刚度要求也就满足了，因此刚度校核在土建工程中处于从属地位。机械工程：对二者的要求一般是平等的，在刚度方面对挠度和转角都有一定的限制，如机床中的主轴，挠度过大影响加工精度，轴端转角过大，会使轴承严重磨损。桥梁工程：挠度过大，机车通过时将会产生很大的振动。综上所述：在工程设计中，我们有必要对梁的挠度和转角进行限制，对梁的挠度的限制，通常以梁的挠度与跨长的比值作为标准。对梁转角的限制，就以梁的

5、容许转角为标准。土建工程：一般要求不大机械工程：由以上的分析：可建立刚度条件如下：二.举例例7-6.图示一矩形截面的悬臂梁，载荷集度q=10KN/m,L=3m。容许单位跨度内的挠度值，材料的容许正应力，弹性模量截面尺寸比：求截面尺寸h、b。矩形横截面解：[分析]：今后大家一定要注意：在材料力学中，凡是遇到确定截面的问题，决不会超出两个方面，一个是强度条件，另一个是刚度条件，如果已知条件中给了强度容许值，只需要按强度条件来确定就行了，反之只需要按刚度条件确定就行了，若两方面的容许值都给出了，那就必须分别确定，然后进行比较选择.(2).按

6、刚度条件设计：由附录查得：代入刚度条件得：（其中：）(1).按强度条件设计：综上所述，截面尺寸应按强度条件计算时，刚度条件一定满足。轴向拉压扭转内力分量内力分量轴力FN扭矩T对称弯曲内力分量弯矩M,剪力FS应力分布规律应力分布规律正应力均匀分布切应力与距圆心距离成正比分布应力分布规律正应力与中性轴距离成正比切应力沿截面高度呈抛物线应力状态应力状态应力状态单轴应力状态纯剪切应力状态单轴应力状态纯剪切应力状态强度条件强度条件轴向拉压扭转对称弯曲强度条件变形公式变形公式变形公式轴向线应变单位长度扭转角挠曲线曲率截面位移截面位移截面位移轴向线

7、位移扭转角挠度与转角刚度条件刚度条件轴向拉压扭转对称弯曲刚度条件变形刚度条件变形刚度条件位移刚度条件应变能应变能应变能