圆锥摆和其变形

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1、“圆锥摆”及其变形江苏省木渎高级中学（215101）郁建石细线一端系一小球，另一端固定于天花板上，小球以一定的大小的速度在水平面内做匀速圆周运动，细线在空中划出一个圆锥面，这样的装置叫做“圆锥摆”，如图[1]所示。“圆锥摆”是匀速圆周运动中一个典型的实例，如果真正地搞清了圆锥摆的有关问题，那么匀速圆周运动中不少常用的分析和处理方法也就基本掌握了。下面就“圆锥摆”问题着重谈三个方面的问题。一、受力分析FOαGTmlω图[1]O′如图[1]所示的圆锥摆，小球在水平面内做匀速圆周运动，共受到重力G和悬线上拉力T两个力作用，这两个力的合力F沿水平方向指向圆周

2、运动的圆心O′，它作为小球做匀速圆周运动的向心力。若悬线长为l，小球的质量为m，悬线与竖直方向的夹角为α，则向心力F＝mgtanα。二、角速度根据匀速圆周运动的物体，其合外力提供向心力，可以得到：mgtanα＝mω2r，其中r＝lsinα，代入整理，得到其角速度：ω＝。根据这一表达式，进行如下讨论：①当悬线长度l一定时，ω∝，即悬线与竖直方向的夹角α随着小球角速度ω的增大而增大。-4-②若悬线的长度l和悬线与竖直方向的夹角α均不相同，但是l和cosα的乘积lcosα相同，则角速度ω就相同，乘积lcosα实际上就等于小球到悬点在竖直方向上的距离。即：如

3、果有若干圆锥摆，即使小球质量m和悬线长度l各不相同，只要小球做圆周运动所在的平面到悬点的距离相同，那么它做匀速圆周运动的角速度ω就一定相同。ω图[2]ω③小球做圆锥摆运动的角速度有一个最小值。当悬线与竖直方向的夹角α＝0时，得到角速度ω0＝，这是角速度的一个临界值，也就是小球做圆锥摆运动的角速度的最小值。即只有当ω＞时，悬线才会被拉直，小球在水平面内做圆锥摆运动；如果ω＜，小球不会在水平面内做圆锥摆运动（这种情况下，如果悬线上端是固定的一根旋转的竖直杆上的话，悬线将会缠绕在竖直杆上，然后小球随杆一起转动，如图[2]所示）。三、变形根据圆锥摆的受力特点

4、和运动特点，可以将其进行如下几种变形：OGNFO′图[3]θ1、小球沿一个倒置的光滑圆锥面的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图[3]所示。受力分析：这时小球在重力G和圆锥面对它的支持力N（相当于圆锥摆中悬线的拉力T）的合力F提供小球做匀速圆周运动的向心力。与圆锥摆比较：由于圆锥面的顶角θ为一定值，根据F＝mgctg＝ma，得小球的向心力速度a＝gctg，可知所有在此圆锥面内做匀速圆周运动的小球，都具有-4-相同大小的加速度；再由向心加速度公式：a＝＝ω2r，可知小球圆周运动的轨道半径r越大（即离开圆锥顶点O越远），线速度v越大，角速度ω越小。θ图[4

5、]GNTOO′3、细线一端系一小球，另一端固定于光滑圆锥面的顶点，小球在水平面内做圆周运动，如图[4]所示。受力分析：小球共受到三个力的作用：小球的重力G、细线对它的拉力T和圆锥面对它的支持力N。这三个力的合力提供小球做圆周运动的向心力。与圆锥摆比较：当角速度ω较小时，小球将沿圆锥面运动，此时分别将N和T分解到水平方向和竖直方向，列出方程：水平方向Tsin－Ncos＝mω2r，竖直方向Tcos+Nsin－mg＝0。不难看出，随着角速度ω的增大，圆锥面对小球的支持力N将减小；当角速度ω增大到ω＝时，圆锥面对小球的支持力N将减小到0，这是一个临界状态；如

6、果继续增大角速度ω，小球将脱离圆锥面运动，这时其规律与圆锥摆就没有区别了。θ图[5]NGTOO′如果将这种情况中的圆锥面去掉，而紧贴着小球的运动平面加一个光滑水平面，如图[5]所示。小球在水平面内做匀速圆周运动时的受力情况、运动情况以及临界状态的分析，都同这种情况相似；所不同的是将原来的圆锥面对小球斜向上的支持力，改成现在水平面对小球竖直向上的支持力而已。3、用两根细线，其一端系着一个小球，另一端系在一根匀速转动的竖直杆上的两点上，小球在水平面内做匀速圆周运动，如图[6]所示。-4-受力分析：小球共受到三个力的作用：小球的重力G、细线AB对它的拉力T

7、1和细线BC对它的拉力T2。这三个力的合力提供小球做圆周运动的向心力。与圆锥摆比较：①当角速度ω较小，即当ω＜时，小球不会在水平面内做圆周运动，此时两根细线小球将均缠绕在竖直杆上，小球随杆一起转动，如图[7]所示。图[8]ABOO′ωT1CG图[6]ABOO′ωT1T2αω图[7]ωCABCG②当角速度ω在下列范围：＜ω＜，细线AB将被拉紧，而细线BC则处于松弛状态，这时情形与原始的圆锥摆相同，如图[8]所示。③当角速度ω＞时，两根细线都将被拉紧，也就是象图[6]中的情形了。有兴趣的同学还可以进一步讨论：这时细线AB和BC哪根线上拉力较大？如果两根细

8、线的规格是相同的，则随着角速度ω的不断增大，哪根细线先断？断了以后再增大角速度ω，又会出现什么情况？等等。另