浅析圆锥曲线和其性质

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1、浅析圆锥曲线及其性质罗国浩深圳市桂园中学摘要:圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，他们与二次方程对应，所以，圆锥曲线又叫做二次曲线。圆锥曲线是平面解析几何的主要内容之一，在解析几何中有非常重要的地位，在日常生活和科学技术上有着广泛的应用。这里对圆锥曲线的定义、性质、标准方程及图像.进行分析和概括。关键词：圆锥曲线性质焦点准线切线焦半径公元前4世纪古希腊著名学者梅内克缪斯在解决“倍立方问题”的过程中他发现了圆锥曲线．取顶角为锐角、直角、钝角的三种不同的直圆锥，用垂直于直圆锥的一条母线的平面去截它们，就得到三种不同的截线，即现在所说的椭圆、抛物线、双曲线．经过了约

2、二百年的时间，圆锥曲线的研究取得了重大突破，其中研究成就最突出的是古希腊数学家阿波罗尼奥斯(公元前262到公元前190)．其巨著《圆锥曲线》与欧几里得的《几何原本》同被誉为古代希腊几何的登峰造极之作《圆锥曲线》几乎将圆锥曲线性质网罗殆尽．直到16世纪，有两件事促使了人们对圆锥曲线作进一步研究．一是德国天文学家开普勒揭示出行星按圆锥曲线轨道环绕太阳运行的事实．二是伽利略得出物体斜抛运动的轨道是抛物线．这使人们对圆锥曲线的实际意义有了更深的认识．17世纪解析几何的创立为圆锥曲线的研究带来了生机．作为点运动轨迹的圆锥曲线，在引入坐标后显示出一个更明显的特征，它是二次方程的图像，即它又

3、被命名为二次曲线．到了18世纪，欧拉发表了《分析引论》，这是解析几何发展史上的一部重要著作，也是圆锥曲线研究的经典之作．在这部著作中，欧拉给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述.一.圆锥曲线的定义圆锥曲线的定义有几何直观上的定义和数量关系上的定义.如果用一个不经过圆锥顶点的平面去截两边可以无限延伸的圆锥面，那么由于截面与轴的夹角不同，他们的交线可能就是椭圆(包括圆)、双曲线或者是抛物线，由于曲线在圆锥面上，所以我们把椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.我们用表示圆锥的轴与截面所成的角(图1-1)，记圆锥的半顶角为,当时，即平面与轴垂直时，则得到的截线是圆（特殊的椭圆），当时，则得到

4、的截线是椭圆，当时，则得到的截线是抛物线，当时，则得到的截线是双曲线.图1-1除以上定义外，椭圆、双曲线和抛物线还有各自的定义：平面内一个动点到两个定点的距离之和等于定长的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做焦点.平面内一个动点到两个定点的距离之差等于定长的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做焦点.平面内一个动点到一个定点和一条定直线的距离相等的轨迹叫做抛物线，这个定点叫做焦点，这条定直线叫做准线.除圆以外，圆锥曲线有统一的定义：平面内的一个动点到一个定点和一条定直线的距离之比是一个常数（通常用表示），那么动点的轨迹叫做圆锥曲线，这个定点叫做焦点，这条定直线叫做准线，这个常数叫做圆锥曲线的离

5、心率.当e<1时，轨迹是椭圆;当时，轨迹是抛物线;当e>1时，轨迹是双曲线.二.圆锥曲线的标准方程及其图像㈠.圆1.椭圆的定义：第一定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.第二定义：动点到定点的距离和它到定直线的距离之比等于常数，则动点的轨迹叫做椭圆.定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数叫做椭圆的离心率.2.椭圆的标准方程及其图像：标准方程中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上图形范围顶点对称轴轴、轴；长轴长，短轴长；焦点在长轴上轴、轴；长轴长，短轴长；焦点在长轴上焦点焦距离心率准线

6、参数方程与普通方程的参数方程为的参数方程为㈡.双曲线1.曲线定义第一定义：平面内到两定点、的距离之差的绝对值等于定长（小于点的轨迹叫做双曲线。说明：①（）是双曲线；若，轨迹是以、为端点的射线；若时无轨迹。②设是双曲线上任意一点，若点在双曲线右边一支上，则，；若M在双曲线的左支上，则，故，这是与椭圆不同的地方。第二定义：平面内动点到定点的距离与到定直线L的距离之比是常数的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线叫相应的准线。2.双曲线的标准方程及图像：标准方程图形焦点顶点对称轴实轴，虚轴，实轴在轴上，实轴，虚轴，实轴在轴上，离心率准线方程准线间距离为准线间距离为渐近线方程3、几个概念

7、⑴等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为，离心率为.⑵共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴双曲线，例：的共轴双曲线是.①双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不一定共轴双曲线.②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上.㈢.抛物线1、抛物线定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线.注：①定义可归结为“一动三定”：一个动点设为；一定点（即焦点）；