分式的概念、性质及运算

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1、分式的概念、性质及运算第四讲分式的概念、性质及运算　　　分式包括分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简单的分式方程等主要内容．　　　从整式到分式，我们可以形象地说是从“平房”到了“楼房”．在脚手架上活动，无疑增加了难点，体现在：解分式问题总是在分式有意义的前提下进行的，因此必须考虑字母取值范围；分式运算中的通分和约分是技巧性较强的工作，需要灵活处理．　　　分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础，是以整式的变形、因式分解为工具．分式的加减运算是分式运算的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地通分，常用通分的策略与技巧有：　　1．化整为零，分

2、组通分；　　2，步步为营，分步通分；　　3．减轻负担，先约分再通分；　　4．裂项相消后通分等　　例题求解　　【例1】要使分式有意义，则的取值范围是　　　．　　　　　　(“希望杯”邀请赛试题)　　　思路点拨当分式的分母不为零时，分式有意义，由于分式是繁分式，因此考虑问题应细致周密．　　注：在新事物面前，人们往往习惯于把它们与原有的、熟知的事物相比，这里蕴涵的思想方法就是类比．　　学习分式时，应注意：　　　(1)分式与分数的概念、性质、运算的类比；　　　(2)整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不是分式的特殊情形；　　（3）分式需要讨论宇母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在．　　　【

3、例2】已知，其中A、B为常数，则4A－B的值为（　）　　　A．7　　　B．9　C．13　　D．5　　　(江苏省竞赛题)　　思路点拨对等式右边通分，比较分子的对应项系数求出A、B的值．　　【例3】计算下列各式：　　(1)；　　（2）；(“五羊杯”竞赛题)　　（3）　　(江西省赣州市竞赛题)　　（4）　　　(安徽省马鞍山市竞赛题)　　　思路点拨因各分式复杂，故须观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧．对于(1)，分步通分；对于(2)，拆项再通分；对于(3)，先约分再通分；(4)注意到分母与分子的项与项之间的关系，如x－2y+z=(x－y)－(y－z)，采用换元法简化式子．　　【例

4、4】解下列分式方程(组)：　　(1)；(“五羊杯”竞赛题)　　(2)(“希望杯”邀请赛题)　　思路点拨若直接通分去分母，则使问属复杂化，对于(1)拆分、分步运算，对于(2)取倒数，逆用加法法则．　　【例5】(1)n为自然数，若n+6

5、n3+1996，则称n为1996的吉祥数，如4+6

6、43+1996，4就是1996年的一个吉祥数．试求1996年的所有吉祥数的和．　　　(北京市竞赛题)　　　(2)计算：　　　(上海市“宇振杯”竞赛题)　　　思路点拔(1)由于n3+1996的次数高于n+6的次数，所以，通过变形将两个整式整除的问属转化为一个分式的问题来解决，是解本例的关键；(2)首尾配对，考

7、查一般情形，把数值计算转化为分式的运算．　　学力训练　　1．（1）要使分式没有意义，则a的值为　　．　　（2）若和互为相反数，则的值为　　．(岳阳市中考题)　　2．已知为整数，且为整数，则所有符合条件的x值的和为　．　　3．已知与的和等于，则=　　　，＝　　．　　(山东省竞赛题)　　4．学校用一笔钱买奖品，若以1枝钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1枝钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品．那么，这笔钱全部用来买钢笔可以买　　枝．　(江苏省镇江市中考题)　　5．已知式子的值为0，则x的值为(　　)　　　A．±1　　B．－l　C．8　D．－1或8　　(江苏省竞赛题)　

8、　6．化简的结果是(　)　　A．　B．　C．D．　　　　　　　　(大连市“育英杯”竞赛题)　　7．若x取整数，则使分式的值为整数的x值有(　)　　A．3个　　　B．4个　C．6个　D．8个　　　(江苏省竞赛题)　　8．若a、b、c满足a+b+c=0，abc=8，则的值是(　)　　　A．正数　B．负数　C．零　　D．正数或负数　　　(“希望杯”邀请赛试题)　　9．计算下列各题：　　（1）；　　（2）；　　（3）；　　10．(1)火车长为400米，通过隧道(从火车头进入隧道至车尾离开隧道)需10分钟，若每分钟速度增加0．1千米，则只需9分钟．求隧道长．（大原市竞赛题)　　(2)甲、乙两人两次

9、到某粮店去买大米，两次的大米价格分别为每斤。元和6　　　元，甲每次买100斤大米，乙每次买100元的大米，问谁两次买的大米平均　　　价格更低些?说明理由．　　　(福州市中考题)　　ll.若x+y+z=3a(a≠O)，则的值为　．　　12．若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围