具有扩散—波动调和特性的图像去噪方法

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1、具有扩散—波动调和特性的图像去噪方法第一章绪论1.1课题的背景与意义在当今的信息时代，人类传递信息的重要媒介就是图像。据统计，人类从外界获得信息约有75%来自视觉系统[1]。随着计算机技术的迅猛发展，应用复杂的数学工具来设计快速而有效的算法来处理大量的图像数据已经成为可能，进而由此推动了数字图像处理技术的飞速发展。近几十年以来，数字图像处理技术已经融入到人类社会的方方面面，大到工程领域、工业生产、军事、医学，小到人们日常生活。更为重要的是图像作为人类视觉延续的重要手段，不仅可以反映人眼可见光的部分，还能呈现不可见光的世界

2、，如通过红外、微波遥感侦测军事目标；利用X射线、CT、核磁共振成像来确定病灶位置帮助疾病的诊断。图像处理的主要任务是对图像进行分析、加工和处理，使其满足视觉心理需要，或者便于进一步的更高层的应用，如识别、决策。基本的图像处理技术包括图像复原（去噪、去模糊、修复）、图像超分辨率、图像分割、图像配准、图像融合、图像（边缘、角点等特征）检测等。在众多的图像处理应用中，图像的成像质量是最基本也是最为重要的前提。不幸的是，很多图像由于传感器的缺陷、自然环境的噪声、干扰、压缩、传输等问题使图像的质量受到严重的损害，这不仅影响人们的视

3、觉心理感受而且不利于对图像的后续分析处理，试想人们很难从一副质量很差的图像中获取准确而有价值的信息。因此，自动而有效的去除图像中的噪声（图像去噪问题）在图像处理技术中变得尤为重要，具有很强的理论意义和应用价值。任何工程技术与应用学科的发展都离不开数学理论等基础学科的支撑，图像处理也不例外。如今，越来越多的数学工具应用到图像处理中，其中三种主要的方向是：随机建模、小波变换和偏微分方程（Partialdifferentialequation，PDE）方法[2,3]。其中随机建模包括诸如马尔可夫随机场理论等；小波理论由信号处理

4、延伸而来依靠变换技术处理图像（见S.Mallat的专著[4]）。本文我们对以上两种方法不作详细介绍，而重点关注偏微分方程方法。......1.2基于偏微分方程的图像去噪的发展历史偏微分方程（PDE）成功应用于图像去噪归因于两个因素[3]。其一，许多图像去噪算法可以通过构造合适的能量泛函并使之最小化来实现，而这种变分问题通常利用相应的Euler-Lagrange方程来求解。其二，实现去除噪声的有效途径便是平滑图像，而将图像的平滑过程类比为物理中的热扩散过程是合理而自然的。偏微分方程恰恰是描述诸如扩散、对流、传播以及反应过程

5、等许多动态过程以及平衡现象的强有力的数学工具。实际上，所有基于偏微分方程的图像去噪算法均是从以上两个角度出发而设计的。偏微分方程方法与变分法本身是应用于物理学，最早应用于图像去噪的偏微分方程可能要算是各项同性的热扩散方程，它将图像的空间看做一个均匀介质的温度场，每个空间位置的灰度值作为热源向周围扩散实现图像的平滑操作。实际上，这种简单的各项同性扩散过程可以等效为高斯平滑过程。众所周知，高斯平滑过程是一种低通滤波操作，它纵然可以去除高频的噪声点，但自然世界的图像并不是仅仅具有低频信息（图像平滑区域），还存在很多必要的高频信

6、息（图像边缘结构），因此这些重要的高频信息也必然遭到损坏使整个图像变得模糊不清。事实上，真正意义上将偏微分方程成功应用于图像去噪的是Perona和Malik在1990年提出的著名的PM（Perona-Malik）方程[6]和Rudin等在1992年提出的全变分（TotalVariation，TV）模型[7]。这两种经典模型拉开了偏微分方程和能量函数变分法实现图像去噪的序幕，在此之后，大批研究人员在此基础上做了大量的研究工作和探索。.......第二章本文相关的数学理论2.1引言任何工程技术应用（包括图像处理技术）都离不开

7、数学理论的支撑；另一方面，工程应用中面临的问题以及算法性能需求的日益提高又不断推动数学理论的进步，为数学发展带来新的契机，同时也为数学理论开辟了广阔的应用天地。本文利用应用数学中偏微分方程的这一有力工具，结合数学理论与图像去噪算法的最新进展，提出一系列基于偏微分方程的图像去噪模型，并在理论上证明其解的存在性与唯一性。本章致力于对相关的数学理论背景知识进行介绍，为后文理论证明提供理论依据。......2.2偏微分方程在科学技术日新月异的发展过程中，用单个自变量的函数描述问题已经显得不够了，因为几乎所有的研究对象的状态变化都

8、不可能只受到一个因素影响，许多问题需要含有更多变量的函数描述。这样，研究某些物理现象的含有多元函数对不同自变量各阶偏导数的偏微分方程也就应运而生。微积分方程这门学科的起源要追溯到十八世纪，欧拉最早提出了弦振动的二阶方程，随后法国数学家达朗贝尔在《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。但这些著作在当时并没有引起人们注意。