运用拓扑优化和分数阶扩散的图像去噪方法--专业论文

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1、运用拓扑优化和分数阶扩散的图像去噪方法张文娟王艳红'（1.西安工业大学理学院，陕西西安710032；2.西安电子科技人学理学院，陕西西安710071）摘要：（目的）针对H前经典的图像去噪方法去掉图像噪声的同时使得边缘变得模糊这一局限性，提出了—•种利用拓扑导数和分数阶扩散的图像去噪方法。（方法）基于拓扑优化的思想，以拓扑导数为指标，提取边缘点，并在边缘点处选取最优的各向界性扩散系数。利用对时间的分数阶扩散方程对图像扩散。（结果）本文确定扩散系数的方法具有全局性的特征。数值实验证明，算法能有效地去除图像中的噪声，并能很好地保留图像的

2、边缘等细节信息。（结论）因此将分数阶扩散方法与拓扑优化思想相结合能获得很好的图像去噪效果Q关键词：图像去噪；热方程；波方程；分数阶扩散；拓扑导数；信噪比中图分类号：TP391文献标识码：A（研究的垂要意义）在一个图像系统中，从图像的获取、到图像的发送、传输、接收、输出（显示）、复制等，每一个环节都会产生干扰，都会使图像质量降低。如何对这些“降质”图像进行处理，满足实际需要，是图像处理的基木要求。图像去噪是图像处理主要内容之…，对于提高图像质量具有重要意义。（前人研究进展）最早用于图像去噪的偏微分方程是线性扩散方程，其结果等价于用G

3、auss函数对初始图像作卷积，相当于对图像作Gauss低通滤波。由于Gauss滤波器是各向同性的，这种滤波的结果是不仅平滑掉图像中的噪声，而II图像边缘也被模糊了。Pcrona和Malik⑴首先提出了能够保持边界的非线性各向异向扩散方程，简称PM模型：.鲁皿吸），（1）M（X,O）=MO（X）其中切是原始图像，扩•散系数c（）>0,是非增函数，与图像梯度成反比。Perona和Malik给岀了两个这样的扩散系数：心）之一（皿尸和c（$）=—。其中常数R（为阈值），和噪声的方差有关。山扩散率函数可+（s/kf见，PM模型利川图像梯度

4、刻画边缘，在边缘处，图像梯度较人，扩散较小；在图像光滑区域，梯度较小,扩散较大。从而保证了在滤除光滑区域噪声的同时在一定程度上保持边界。此方程可看作求下列能量泛函的极小值E（"）=L/伯"

5、加心，⑵这里Qc/?2,/（

6、vw

7、）>0为光滑的、关于梯度呼

8、的增函数，满足：呼卜0时，广伯“卜0,且与⑴中扩散系数C之间的关系为虽然利用PM模型可以得到较好的去噪效果，但模型利用图像梯度模检测边缘是不稳定的，因为梯度算子对噪声敏感；另外，模型是病态的⑵，其解的存在唯一性得不到解决。Weickert在⑶中对PM模型的各种正则化方法进行了详细综

9、述，其中常用的是F.Catte121等提出的正则化模型："5)w(x,O)=«oCv)I一_其中=Ga*w,Ga=exp--一是Gaussian函数，b为滤波尺度，“（）是原始图像。Catte采用Gauss4力4a/导数检测图像边缘，降低了梯度模对噪声的敏感性，也证明了方程解的存在唯一性，从而克服了PM模型的病态问题。木文将这两个模型统称为PM模型。此外，Weickert的非线性张量扩散模型⑶也属于这一类型。Cuesta在［4］中利用如下线性分数阶积分-微分方程在图像增强中控制扩散作用，,（5）初始条件为M（）,x,y）=“（）

10、o/fT农示对时间的阶数为ag［0,1］的Rieman-Liouville（RL）分数阶积分。a=1时,方程为线性抛物方程（热方程），随着时间増大其扩散作用越来越明显。当g=（）时，为线性双曲方程（波方程），扩散作川随时间逐渐下降。调节参数Q可以抑制扩散过程。Cuesta利用Grunwald-Letnikov（GL）［451分数阶积分逼近RL分数阶积分，从而得到方程（5）的数值解。（研究的切入点）尽管PM模型中两数的选择有很多，但其各向同性特性使得仅仅减小了对边缘的扩散却使边缘上的噪声保留下来了。（拟解决的关键问题）因此需要寻求一

11、种方法，既能去除图像的光滑部分及边缘的噪声，乂能保留图像的边缘等细节信息。木文利川［7］、［8］的思想，以拓扑导数为指标，提取须改变各向同性扩散系数的像素点（对应于图像边缘），在这些点处选取最优的扩散系数，以使代价函数的值尽口J能减小，选取的扩散系数是各向异性的，因此既能去除图像边缘的噪声，又能保留边缘等细节信息。在光滑区域仍利用各向同性的扩散系数达到去噪廿的。同时基于文献⑷、［6］的工作，运用对时间的分数阶扩散方程进一步抑制对边缘的扩散。由木文所选的代价函数的形式可以看出，文屮最优扩散系数的选择具有全局性的特点，而不像以往的很多

12、工作中，扩散系数只依赖于局部点的梯度。1拓扑导数当所考虑的区域受到扰动吋，拓扑导数用来量化问题的墩感度。设0为以中的有界开集，。为一包含原点的有界区域，J（W）=J（«（Q））为要极小化的代价泛函，“（G）为定义在区域G上的变分问题的解，对充分小的