4.圆板的轴对称弯曲

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1、圆板的轴对称弯曲现在考虑在轴对称荷载q=q(r)作用下圆板的塑性弯曲问题。假设材料为理想刚塑性的。这样，板在塑性极限状态到达之前始终是不变形的。板半径为b，厚度为2h，h与b相比是较小的。考虑板的平衡条件，有关于板的变形，仍保留弹性薄板的克希霍夫假设：1、板中面上的各点只产生平等于中面的位移；2、与中面垂直的法线在弯形后仍是直线，并垂直于弯形后的中面。在轴对称的情况下，板的挠度环向位移而应变分量为应变增量为应变增量比值注意不记弹性变形及，有则由刚塑性的利维-米塞斯流动法则同理可知忽略挤压应力和剪应力对屈服的影响，由Mi

2、ses条件得可得：表明在材料屈服时，的绝对值沿中面法线不变。意味着：将用弯矩表示的屈服条件代入平衡微分方程若采用Tresca条件边界条件：1、自由边2、简支边3、固支边采用Tresca条件，代入平衡微分方程，得出的是线性方程，但主应力的排序要根据边界条件作分析判断。a周边简支，半径为b，承受均布荷载q的圆板，求其塑性极限荷载问题。解：因为弯矩的最大值在原点处，且显然，根据Tresca屈服条件,首先从原点开始屈服。考虑到弯矩都是正的，则在塑性极限状态时，原点相当于屈服线上的A点。但在板边上，相当于屈服线上的B点，则从板圆

3、心到半径边缘的相对应力空间为从A到B。即有代入平衡方程，积分得：由边界条件和限值条件计算得：计算板的变形，按流动法则，在AB边上则有其解为由得注意：c1不是确定的，表明在塑性流动状态时，板的变形是不受限制的。其塑性极限状态时的变形如右图。作业：4-4一矩形载面梁（bh），材料为理相弹塑性的，受纯弯曲作用，当加载到时完全卸载，求卸载后残余曲率半径。解：当弯矩大于弹性极限有值时，在纯弯曲的情况下，梁的横载面上有弹塑性两个区域，由横截面上的应力组合，有在纯弯曲状况下，梁处于单向受力状态，对弹性区在弹塑性区交界处，则：或者在卸

4、载后，其曲率半径为卸载后的曲率为则若按弹塑性时的曲率与弹性极限时曲率的比例关系由卸载后恢复曲率关系残余曲率关系现在来分析梁在弹塑性状态下的挠度对于理想弹塑性材料，当梁处于弹塑性状态时，其截面上有弹性区与塑性区两个区域，而梁抵抗变形的能力则由弹性区承担，所以在弹塑性区混合所在截面，有在弹塑性区交界处有这就是弹塑性状态下，梁的挠曲微分方程。试计算理想弹塑性材料、跨中受集中荷载作用的矩形（bh)简支梁在达到塑性极限状态瞬时的挠曲线方程。解：由内、外弯矩条件先确定纯弹性梁段（取右段分析）可知弹塑性梁段在内。再确定弹塑性梁段的弹

5、塑性交界线将梁分为两段，求其挠度在弹塑性段在弹性段分别积分考虑边界条件和连续条件由边界条件得挠曲线塑性极限时的最大挠度，在跨中弹性极限时的最大挠度，在跨中则第六章理想刚塑性体的平面应变问题在前面分析的弹塑性力学问题是一些简单问题，对于许多具有重大实际意义的问题由于其复杂性，要获得准确解答非常困难，因此，不得不引入某些假设，使问题得到简化，然后找出近似解答。忽略弹性变形，而把材料视为刚塑性的，即把材料作了简化。当塑性变形可以自由发展时，这种简化是合理的。如果不仅忽略弹性变形，而且不计硬化，这样的材料就是理想刚塑性材料。本

6、章就是按照增量理论解决理想刚塑性体的平面应变问题——滑移线理论的塑性问题求解。6-1平面应变问题的基本方程1、应变状态及应力状态平面应变状态问题，物体内的各点位移平行于xy平面，且与z无关根据几何方程则其应变张量为相应的应变增量张量和应变率张量为对于应力分量，根据理想的刚塑性体的(Levy-Mises)利维—米塞斯关系Levy-Mises流动法则由此可见，不论是增量理论或是全量理论，增面应变问题引入体积不可压缩假定以后，都有则塑性区应力张量为这里，是主应力之一。其它两个主应力由此，三个主应力为而最大剪应力作用在最大剪应

7、力作用面上的正应力为注意，在些单元体的Z方向的正应力也是平均应力在xy平面上的主方向为如右图所示2、滑移线在平面应变状态下，其上每一点皆与最大剪应力面相切的线叫滑移线。由于剪应力成对且互相垂直，则过xoy平面内的每一点可以作两条这样的线。所以在整个xoy平面内滑移线是两族正交曲线，分别称为族和族。规定：α、β的正方向成右手坐标系，并使τ在该坐标系内成正方向。α的切线与x轴的夹角用θ表示，由x轴的正方向按逆时针算起。不难看出，最大主应力σ1的方向在α—β坐标系的第一及第三象限，所以σ1方向顺时针转过π/4就是α方向，逆时

8、针转过π/4就是β方向。对于曲线的几何方程，结合导数的几何意义，不难得到两滑移线的微分方程，为滑移线以正交网络布满塑性区，称为滑移线场。由滑移线分割成的无限小单元体的应力如图。3、基本方程对平面应变问题，在不计体力的情况下，其平衡方程为滑移线场对理想刚塑性体，在塑性区的应力应该满足屈服条件。如果边界上给定面力的边界条件，则问题可以