大工13秋《高等数学》(上)辅导资料十八

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1、大连理工大学网络教育学院高等数学（上）辅导资料十八主题：第五章定积分第四节定积分与原函数的关系学习时间：2014年1月27日—2月2日内容：这周我们将学习第五章定积分—第四节定积分与原函数的关系。本周将继续介绍定积分，根据牛顿—莱布尼兹公式，可以计算连续函数的定积分。如连续函数较复杂，可以利用定积分的换元积分法和分部积分法。其学习要求及需要掌握的重点内容如下：1、会计算积分上限函数的导数2、熟练掌握计算定积分的牛顿—莱布尼兹公式3、掌握定积分的分部积分法和换元积分法基本概念：定积分作为变上限函数及其求导定理，牛顿—莱布尼兹公式及定积分

2、的换元积分法与分部积分法知识点：定积分的计算方法知识结构图第四节、定积分与原函数的关系一、变上限的定积分及其导数设函数在区间上连续,，则定积分一定存在，当在上变动时，它构成了一个的函数，称为的变上限积分函数，记作，即。（要求理解概念）第4页共4页大连理工大学网络教育学院定理1如果函数在区间上连续,则变上限积分函数F(x)在[a,b]上具有导数,且导数为F¢(x)定理2如果函数在区间上连续,则变上限积分函数F(x)就是在上的一个原函数。范例解析：1、2、二、牛顿—莱布尼茨公式定理3如果函数是连续函数在区间上的一个原函数,则此公式称为牛顿

3、—莱布尼茨公式,也称为微积分基本公式。（要求熟练掌握公式）范例解析：1、2、第4页共4页大连理工大学网络教育学院三、定积分的换元法与分部积分法1、定积分的换元法定理设函数在区间上连续,函数满足条件：(1)(2)在[a,b](或[b,a])上具有连续导数,且其值域不越出，则有这个公式叫做定积分的换元公式。（要求熟练掌握计算方法）范例解析：计算题、设，求的值。解：解法Ⅰ令解法Ⅱ使用凑微分公式2、定积分的对称性设为上的连续函数，则范例解析：填空题、解析：注意积分区间为对称区间，被积函数为奇函数，可知。3、定积分的分部积分法设函数在区间上具有

4、连续导数，由得，等式两端在区间[a,b]上积分得或这就是定积分的分部积分公式。（要求熟练掌握计算方法）第4页共4页大连理工大学网络教育学院分部积分过程：范例解析：计算题、计算解：第4页共4页