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时间:2018-12-23
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1、大连理工大学网络教育学院高等数学(上)辅导资料七主题:第二章导数与微分1—2节学习时间:2013年11月11日-11月17日内容:这周我们将学习第二章导数与微分1—2节。高等数学的主要内容是微积分,微分学则是微积分的重要组成部分。在这一章里,将利用极限的概念来说明导数的基本概念,研究求函数的导数的方法,并由此解决求初等函数导数的问题。本章的学习要求及需要掌握的重点内容如下:1、深刻理解导数定义(含左导和右导)及表示方法,会用导数定义求导数。2、了解导数的几何意义,会求曲线上一点的切线方程和法线方程3、深刻理解可导与连续的关系,会
2、判定初等函数的可导性。4、牢记基本初等函数的导数公式及导数四则运算法则5、掌握反函数的求导方法6、掌握复合函数的求导方法基本概念:导数概念、导数几何意义知识点:导数的四则运行法则,基本初等函数的求导公式知识结构图第一节、导数的概念一、引例1、变速直线运动的速度2、切线问题二、导数的定义定义1:设函数在点的某邻域内有定义,若存在,则称函数在点处可导,并称此极限为在点的导数。记作:;;;第5页共5页大连理工大学网络教育学院即定义2:左导数右导数∴三、导数的几何意义1、函数在的导数就是该曲线在点处的切线斜率,即,或为切线的倾角。从而,
3、得切线方程为(请记住公式)若或切线方程为:范例解析:填空题:曲线在点(0,1)处的切线斜率k=答案:2解题思路:2、过切点,且与点切线垂直的直线称为在点的法线。如果,法线的斜率为。此时,法线的方程为:(请记住公式)如果,法线方程为范例解析:计算题:已知曲线,求过点(-1,-3)的切线方程和法线方程。解:,由导数的几何意义,曲线在(-1,-3)点的切线的斜率第5页共5页大连理工大学网络教育学院,法线斜率所以切线方程为,即法线方程为,即四、函数的可导性与连续性的关系可导连续。即可导是连续的充分条件,连续是可导的必要条件。第二节、函数
4、的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则(1)若,则(为常数)(2)若,则推广:(3)若,,二、反函数的求导法则设为的反函数,若在的某邻域内连续,严格单调,且,则在(即)点有导数,且。即反函数的导数等于直接函数导数的倒数。范例解析:计算题:求对数函数的导数。解:因为是的反函数,而在是单调递增的连续函数,且,所以特别地,当时,三、复合函数求导法则如果在点可导,且在第5页共5页大连理工大学网络教育学院点也可导,那么,以为外函数,以为内函数,所复合的复合函数在点可导,且,或。范例解析:选择题:设,则等于()第5页共5页大连理工大学
5、网络教育学院A、B、第5页共5页大连理工大学网络教育学院C、D、第5页共5页大连理工大学网络教育学院答案:C解题思路:四、初等函数的导数现将我们已求出的基本初等函数的导数列表如下,作为基本求导公式。(1)(2)为任意实数)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)第5页共5页大连理工大学网络教育学院(14)(15)(16)第5页共5页
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