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1、第六章三角函数三角函数的相关概念要点·疑点·考点(2)所有与α角终边相同的角的集合S={β
2、β=α+k·360°,k∈Z}1.角的概念的推广(1)任意角的概念:按逆时针方向旋转形成的角叫做正角;按顺时针方向旋转形成的角叫做负角;射线没作任何旋转,则它形成了一个零角.角的概念推广后,角的集合与实数集R之间建立了一一对应的关系.(3)象限角与轴线角:在直角坐标系内讨论角,规定角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是第几象限角.而终边在坐标轴上的角叫
3、做轴线角.要点·疑点·考点2.角度制与弧度制(1)弧度制的定义:弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度.根据这一定义可知,任一已知角α的弧度数的绝对值(2)角度与弧度的互化:1°=π/180弧度,1rad=(180/π)°≈57.30°=57°18′πrad=180o(4)终边在x轴上的角的集合:{α
4、α=kπ,k∈Z}终边在y轴上的角的集合:{α
5、α=kπ+,k∈Z}终边在坐标轴上的角的集合:3.任意角三角函数的定义(1)任意角三角函数的定义:设α是一任意角,角α的终边上任意一点P(x,y),P与
6、原点距离是r,则sinα=y/r,cosα=x/r,tanα=y/x,cotα=x/y,secα=r/x,cscα=r/y.要点·疑点·考点(3)弧度制下的弧长公式与扇形面积公式:弧长公式l=
7、α
8、r,扇形面积公式(2)象限角的符号规律:(3)终边相同角的三角函数关系(诱导公式一):sin(α+360o·k)=sinα,cos(α+360o·k)=cosαtan(α+360o·k)=tanα,(其中k∈Z)4.同角三角函数的基本关系式①倒数关系:sinαcscα=1,cosαsecα=1,tanα
9、cotα=1②商数关系:tanα=,cotα=③平方关系:sin2α+cos2α=1,1+tan2α=sec2α,1+cot2α=csc2α5.三角函数值的符号sinα与cscα,一、二正,三、四负,cosα与secα,一、四正,二、三负,tanα与cotα,一、三正,二、四负要点·疑点·考点基础题例题1.已知角α的终边过点P(-5,-12),则cosα=_______,tanα=_______.-5/1312/5A2.已知集合A={第一象限的角},B={锐角},C={小于90°的角},下列四个命
10、题:①A=B=C;②AC;③CA;④AC=B.其中正确命题个数为()(A)0(B)1(C)2(D)43.已知2α终边在x轴上方,则α是()(A)第一象限角(B)第一、二象限角(C)第一、三象限角(D)第一、四象限角C6.在(0,2π)内,使sinα·cosα<0,sinα+cosα>0,同时成立的α的取值范围是()(A)(π/2,3π/4)(B)(3π/4,π)(C)(π/2,3π/4)∪(7π/4,2π)(D)(3π/4,π)∪(3π/2,7π/4)C基础题例题4.直线xcosθ+ysin
11、θ+a=0与圆x2+y2=a2(a>0)交点的个数为()A.1B.2C.0D.随θ的变化而变化A5.若x=π/3是方程cos(x+α)=1的解,其中α∈(0,2π),则α=________5π/38.能力·思维·方法A.{-2,4}B.{-2,0,4}C.{-2,0,2,4}D.{-4,-2,0,2,4}B9.化简【解题回顾】在各象限中,各三角函数的符号特征是去绝对值的依据.另外,本题之所以没有讨论角的终边落在坐标轴上的情况,是因为此时所给式子无意义,否则同样要讨论能力·思维·方法10.设α为第四
12、象限角,其终边上的一个点是P(x,),且cosα=,求sinα和tanα.能力·思维·方法解题分析:解决与三角函数的值有关的问题,定义是最基本的方法,此题关键是确定x的值.解:∵α为第四象限角,∴x>0,且r=√x2+5则cosα解得x=√3∴r=√8故sinα=tanα=【解题回顾】容易出错的地方是得到x2=3后,不考虑P点所在的象限,分x取值的正负两种情况去讨论,一般地,在解此类问题时,可以优先注意角α所在的象限,对最终结果作一个合理性的预测10.设α为第四象限角,其终边上的一个点是P(x,)
13、,且cosα=,求sinα和tanα.能力·思维·方法11.已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径是R.①若α=60°,R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积.②若扇形的周长是一定值C(C>0),当α为多少弧度时,该扇形的面积有最大值?并求出这一最大值?延伸·拓展解:(1)设弧长为l,弓形面积为S弓,因为,R=10cm,∴l=(cm),(2)因为扇形周长c=2R+l,即l=c-2R显然,当且仅当R=c时,S扇取得最大值,此时中心角α=2rad11.已知一扇形的中心角是α,所在