6复变(1解析函数与调和函数的关系2复级数的概念3幂级数)

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1、第六讲解析函数与调和函数的关系在§3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系。内容简介§3.7解析函数与调和函数的关系定义定理证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析，则即u及v在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:定义上面定理说明：由解析的概念得：现在研究反过来的问题：如定理公式不用强记！可如下推出：类似地，然后两端积分得，调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应用。本节介绍了调和

2、函数与解析函数的关系。例1解曲线积分法故又解凑全微分法又解偏积分法又解不定积分法1.复数列的极限2.级数的概念第四章级数CH4§4.1复数项级数1.复数列的极限定义又设复常数：定理1证明2.级数的概念级数的前面n项的和---级数的部分和不收敛---无穷级数定义设复数列：例1解定理2证明由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为两个实数项级数的收敛问题。性质定理3证明?定义由定理3的证明过程，及不等式定理4解例2例3解练习：一致收敛(定义4.4)如果任给，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整数，使得当时，有那么

3、我们说级数在E上一致收敛于f(z)注解：注解1、和实变函数项级数一样，我们也有相应的柯西一致收敛原理(定理4.5)：柯西一致收敛原理（复变函数项级数）：复变函数项级数在E上一致收敛的必要与充分条件是：任给，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整数，使得当，p=1,2,3,…时，有注解：注解2、一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法（M-判别法）：设在复平面点集E上有定义，并且设是一个收敛的正项级数。设在E上，那么级数在E上一致收敛。定理4.6设复平面点集E表示区域、闭区域或简单曲线。设在集E上{fn(n)}(n=1,

4、2,…),连续，并且级数在E上一致收敛于f(z)，那么在E上连续。定理4.7设在简单曲线C上{fn(n)}(n=1,2,…)连续,并且级数在C上一致收敛于f(z)那么注解：注解1、在研究复变函数项级数的逐项求导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数；注解2、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研究和函数与极限函数的解析性及其导数。内闭一致收敛：定义：设函数序列在复平面C上的区域D内解析。如果级数在D内任一有界闭区域上一致收敛于f(z)，那么说此级数在D中内闭一致收敛于f(z)。内闭一致收敛：设函数序列在复平面C上

5、的区域D内解析。如果级数在D内任一有界闭区域上一致收敛于f(z)，那么我们说此级数在D中内闭一致收敛于f(z)。定理4.9（魏尔斯特拉斯定理）设函数在区域D内解析，并且级数在D内闭一致收敛于函数f(z)，那么f(z)在区域D内解析，并且在D内证明：先证明f(z)在D内任一点z0解析，取z0的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作一条简单闭曲线C。由定理4.7以及柯西定理因为根据莫勒拉定理，可见f(z)在U内解析。再由于z0是D内任意一点，因此f(z)在D内解析。其次，设U的边界即圆K也在D内，于是对于一致收敛

6、于。由定理4.7，我们有也就是因此，定理中关于级数的部分证明结束。1.幂级数的概念2.收敛定理3.收敛圆与收敛半径4.收敛半径的求法5.幂级数的运算和性质§4.2幂级数1.幂级数的概念定义设复变函数列：---称为复变函数项级数级数的最前面n项的和---级数的部分和若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数---级数(1)的和函数特殊情况，在级数(1)中称为幂级数2.收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理1(阿贝尔(Able)定理）证明(2)用反证法，3.收敛圆与收敛半径由Able定理，幂

7、级数的收敛范围不外乎下述三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处　处收敛。(ii)除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。显然，<否则，级数(3)将在处发散。将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，逐渐变大，在c内部都是红色,逐渐变小，在c外部都是蓝色，红、蓝色不会交错。故播放(i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析。定义这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的收敛圆；这个圆的半径R

8、叫做幂级数的收敛半径。(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径为R的圆域.4.收敛半径的求法定理2(比值法)证明定理3(根值法)定理3(根值法)定理2(比值法)例1解综上例2求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解(1)该级数收敛该级数发散p=1p=2该级数在收敛圆上是处处收敛的。综上该级数发散。该级数收敛，故该级数在复平面上是处处收敛的.5