高中数学 函数的值域与最值

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1、函数的值域与最大(小)值(一)复习指导函数的值域就是全体的函数值所构成的集合，是由其对应法则和定义域共同决定的，在多数情况下，一旦函数的定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定了，而函数的最大(小)值一定是值域内最大(小)的一个函数值，因此求函数的值域和求函数的最大(小)值在方法上是相通的．求函数的值域要注意优先考虑定义域，常用的方法有：（1）观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域，例如函数的值域是；（2）反函数法：用函数和它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形

2、如的函数值域可用此法求值域；（3）配方法：二次函数或可转化为形如类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意的范围；（4）不等式法：利用基本关系两个正数的均值不等式在应用时要注意“一正二定三相等”；（5）利用函数的单调性求值域：观察函数式特点，联系函数单调性确定函数的定义域和值域，例如函数，可看a与c是否同号，若同号则可用单调性求值域，若异号才用换元法；在利用两正数的均值不等式求值域失效（即等号不成立）的情况下，可采用单调性法求值域，函数当时，函数递减，当函数递增，想想这是为什么？另外，还可用数形结合法（函数的图像

3、）、判别式法、换元法（三角换元法）等求值域。小结：对于二次函数,⑴若定义域为R时，①当a>0时，则当时，其最小值；②当a<0时，则当时，其最大值⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]①若[a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值(3)若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；4(4)当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的

4、位置关系进行讨论利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式解题中要注意二次项系数是否为0的讨论求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法(二)解题方法指导例1．求下列函数的值域：(1)f(x)=x2－2x－3，x[2，4](2)f(x)=x2－2x－3，x[

5、－3，4](3)f(x)=sin2x－2sinx－3(4)例2．求下列函数的值域：(1)(2)例3．求函数的值域．例4．求的值域．例5．设函数，（1）求函数的定义域；（2）问是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由例题解析4例1解：(1)根据f(x)=x2－2x－3=(x－1)2－4的图像，可知在[2，4]上函数是单调递增的，f(2)≤f(x)≤f(4)，即－3≤f(x)≤5，所以函数的值域为[－3，5]．(2)抛物线f(x)=x2－2x－3的开口向上，对称轴为x=1，而1∈[－3，4]，所

6、以由图像可知f(1)≤f(x)≤f(－3)，即－4≤f(x)≤12，所以y∈[－4，12](3)令t=sinx，则问题化为当t∈[－1，1]时，求φ(t)=t2－2t－3的值域，根据图像可知函数φ(t)=t2－2t－3在[－1，1]是单调递减的，φ(1)≤φ(t)≤φ(－1)即－4≤φ(t)≤0，所以函数的值域为[－4，0]．(4)令u=x2－2x，u=x2－2x=(x－1)2－1≥－1，而所以在R上是减函数，所以，故y∈(0，2]．小结：(3)(4)题是双重复合型函数问题，求值域宜“由里向外”，逐层考虑．二次函数的值域

7、和两个因素密切相关：一是所给的区间，二是对称轴的位置．根据所给条件条件，迅速做出草图，是解决这类问题的最佳方法，关于二次函数求最大(小)值问题，后面还要专门的研究．例2解：(1)原函数可化为，因为，所以y≠2，即函数的值域为{y∈R｜y≠2}．注：此题也可以反解x，得，得到y≠2．一般地，当c≠0时，的值域为{y∈R｜y≠}．(2)由反解sinx，得因为｜sinx｜≤1，所以得解得y≥3或所以函数的值域为注：此题也可以令t=sinx，通过图像考虑在[－1，1]上的单调性，从而求出函数的值域．例3解：令m=cosθ，n＝s

8、inθ，则m2＋n2=1．因此所求函数的值域，就是圆x2＋y2=1上的动点(x，y)与定点(2，1)连线的斜率的变化范围，设经过定点(2，1)且与x2＋y2=1相切的直线为y－1=k(x－2)，即kx－y＋1－2k=0，利用相切的条件：圆心到直线的距离等于半径，易得k=0，或，由图形可知，分别为圆上的动点(x，y)与