高中数学 函数的值域与最值

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1、函数的值域与最大(小)值(一)复习指导函数的值域就是全体的函数值所构成的集合，是由其对应法则和定义域共同决定的，在多数情况下，一旦函数的定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定了，而函数的最大(小)值一定是值域内最大(小)的一个函数值，因此求函数的值域和求函数的最大(小)值在方法上是相通的．求函数的值域要注意优先考虑定义域，常用的方法有：（1）观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域，例如函数的值域是；（2）反函数法：用函数和它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如的函数值域可用此法求值域；（3）配方法：二次函数或可转化为形如类的函数

2、的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意的范围；（4）不等式法：利用基本关系两个正数的均值不等式在应用时要注意“一正二定三相等”；（5）利用函数的单调性求值域：观察函数式特点，联系函数单调性确定函数的定义域和值域，例如函数，可看a与c是否同号，若同号则可用单调性求值域，若异号才用换元法；在利用两正数的均值不等式求值域失效（即等号不成立）的情况下，可采用单调性法求值域，函数当时，函数递减，当函数递增，想想这是为什么？另外，还可用数形结合法（函数的图像）、判别式法、换元法（三角换元法）等求值域。小结：对于二次函数,⑴若定义域为R时，①当a>0时，则当时，其最小值；②当a<0时，则当时，其最大值

3、⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]①若[a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值(3)若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；4(4)当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式解题中要注意二次项系数是否为0的讨论求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），

4、随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法(二)解题方法指导例1．求下列函数的值域：(1)f(x)=x2－2x－3，x[2，4](2)f(x)=x2－2x－3，x[－3，4](3)f(x)=sin2x－2sinx－3(4)例2．求下列函数的值域：(1)(2)例3．求函数的值域．例4．求的值域．例5．设函数，（1）求函数的定义域；（2）问是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由例题解析4例1解：(1)根据f(x)=x2－

5、2x－3=(x－1)2－4的图像，可知在[2，4]上函数是单调递增的，f(2)≤f(x)≤f(4)，即－3≤f(x)≤5，所以函数的值域为[－3，5]．(2)抛物线f(x)=x2－2x－3的开口向上，对称轴为x=1，而1∈[－3，4]，所以由图像可知f(1)≤f(x)≤f(－3)，即－4≤f(x)≤12，所以y∈[－4，12](3)令t=sinx，则问题化为当t∈[－1，1]时，求φ(t)=t2－2t－3的值域，根据图像可知函数φ(t)=t2－2t－3在[－1，1]是单调递减的，φ(1)≤φ(t)≤φ(－1)即－4≤φ(t)≤0，所以函数的值域为[－4，0]．(4)令u=x2－2x，u=x2

6、－2x=(x－1)2－1≥－1，而所以在R上是减函数，所以，故y∈(0，2]．小结：(3)(4)题是双重复合型函数问题，求值域宜“由里向外”，逐层考虑．二次函数的值域和两个因素密切相关：一是所给的区间，二是对称轴的位置．根据所给条件条件，迅速做出草图，是解决这类问题的最佳方法，关于二次函数求最大(小)值问题，后面还要专门的研究．例2解：(1)原函数可化为，因为，所以y≠2，即函数的值域为{y∈R｜y≠2}．注：此题也可以反解x，得，得到y≠2．一般地，当c≠0时，的值域为{y∈R｜y≠}．(2)由反解sinx，得因为｜sinx｜≤1，所以得解得y≥3或所以函数的值域为注：此题也可以令t=si

7、nx，通过图像考虑在[－1，1]上的单调性，从而求出函数的值域．例3解：令m=cosθ，n＝sinθ，则m2＋n2=1．因此所求函数的值域，就是圆x2＋y2=1上的动点(x，y)与定点(2，1)连线的斜率的变化范围，设经过定点(2，1)且与x2＋y2=1相切的直线为y－1=k(x－2)，即kx－y＋1－2k=0，利用相切的条件：圆心到直线的距离等于半径，易得k=0，或，由图形可知，分别为圆上的动点(x，y)与