第七章截面的几何性质

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1、荆楚理工学院教案第五章截面的几何性质授课日期年月日节授课班级教学目标1、掌握惯性矩、极惯性矩、惯性半径的概念及计算,平行移轴公式及常见组合截面的惯性矩计算。 2、理解惯性积、形心主惯性轴和形心主惯性矩的概念。教学内容1、图形的惯性矩2、极惯性矩、3、惯性积、惯性半径，4、平行移轴公式重点难点重点：1、图形的惯性矩2、极惯性矩、3、惯性积、惯性半径，4、平行移轴公式难点：1、图形的惯性矩2、极惯性矩3、平行移轴公式教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。计划学时4讲课提纲：1）讨论的问题：介绍与截面

2、形状和尺寸有关的几何量(静矩、惯性矩、惯性积）的定义及计算方法；平行移轴公式，转轴公式等。2）工程实际：在实际工程中发现，同样的材料，同截面积，由于横截面的形状不同，构件的强度、刚度有明显不同，如一张纸（或作业本），两端放在铅笔上，明显弯曲，更不能承载东西了.但把同一张纸折成波浪状（象石棉瓦状），这时纸的两端再搁在铅笔上，不仅不弯曲，再放上一支铅笔,也不弯曲.可见,材料截面的几何形状对强度、刚度是有一定影响的，研究截面几何性质的目的就是解决如何用最少的材料，制造出能承担较大荷载的杆件的问题的.（一）截面的静矩和形心一、静

3、矩的定义设平面图形7-1，取zoy坐标系，取面积元dA，坐标为（z,y），整个截面对z、y轴的静矩为：——整个截面对z轴的静矩；——整个截面对y轴的静矩；图7-11）若将dA理解为垂直于纸面的力，ydA便是对z轴的力矩，Sz则为对z轴的合力矩，故称为面积矩。若形心坐标为，静矩也可写成：性质：1、同一截面对不同轴的静矩亦不同；静矩可以是正、可以是负或零；2、单位：mm31、当坐标轴原点过形心，2）反之，若，坐标轴原点必过截面形心。二、形心位置的计算形心位置：对面积连续分布的（非组合图形）图形：对组合图形：例1：求四分之一圆

4、截面对z,y轴的形心位置。解：取如图7-1示的坐标系,先求图7-1三、组合截面的静矩例2：如图7-2，由两个矩形截面组合成的T形截面，y轴为对称轴，对z，y轴的静矩。解：因为是组合图形,又关于轴对称，故有：图7-2（二）惯性矩和惯性积一、惯性矩的定义定义：面积对坐标轴的二次矩.设一平面图形7-3，取一元面积dA，坐标为(z,y)，距原点的距离为，方位角为，定义：图7-3Iz，Iy——平面图形对z,y轴的惯性积;Iyz——平面图形对z,y轴的惯性积;二、性质1、Iz，Iy恒为正，Iyz可正、可负、也可以为零，其正负值与坐标

5、轴的位置有关。2、单位：（长度）4；例：计算直径为d的圆截面对形心轴z,y的惯性矩和惯性积。解：用平面极坐标图7-4由于对称：极惯性矩：4对过形心的一对轴的惯性积因坐标轴是对称轴，如对左右的dA，（如上图），0结论：截面如有一根对称轴，则截面对这根轴与另一根与之垂直的轴的1）对矩形截面，过形心轴的惯性矩：2）若为组合图形，对z轴，y轴的惯性矩：因,原面积对z轴的惯性矩就等于将各元面积对z轴的惯性矩求和，因质量连续分布，求和则为积分。应用于圆环的情形,可看成两个圆形截面，3）惯性半径（回转半径）的概念如以r表示某一截面对某

6、轴的惯性半径，定义（三）惯性矩和惯性积的平行移轴公式一、公式如图7-5示：任一平面过形心c的坐标系Z0Y，截面对Z、y的惯性矩为,与ZOY平行的坐标系为Z’O’Y，截面对Z’、y’的惯性矩为由图知：平行移轴定理：截面对平行于形心轴的其它任意轴的惯性矩等于该截面对形心轴的惯性矩加上其面积乘以两轴之间距离的平方。意义:提供了计算平面图形对平行于形心轴的其它轴惯性矩的方法;也可反算对形心轴的惯性矩及惯性积。