无穷维动力系统

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1、无穷维动力系统郭柏灵（北京应用物理与计算数学研究所）(2005.0505，北京)众所周知，有限性动力系统的研究至少已有三十多年的历史，至今已取得了许多重要的成果。但是，动力系统的问题远远不限于有限维的情形，流体力学中的湍流问题，就是一个无穷维动力系统的问题，著名的Benard对流问题，它是由Newton-Boussinesq非线性偏微分方程组来描述的，它也是研究湍流的典型问题，如果对它的未知函数作富氏展开，在保留三个运动模式的近似下，则得到常微分方程中描写混沌现象的典型方程-Lorentz模型，因此，有限维动力系统可以看成无穷动力

2、系统的一个近似。从物理力学实际问题来看，许多重要动力系统的问题是无穷维的,它是用偏微分方程描述的，但从问题的研究过程来看，一般是先从简单的有限维的常微分方程动力系统开始，而无穷维动力系统则是有限维动力系统研究的必然发展和深入，即：把时空混沌问题简化为时间混沌，再由时间混沌问题发展成时空混沌问题。1.引言最近，物理上已展现一大批具有孤立子的非线性发展方程，例如KdV方程，非线性Schrodinger方程，Zakharov方程,Sine-Gordon方程等，在一定的耗散作用下，从孤立子状态演化为混沌现象(它们属于不可积系统)，也有某些

3、Hamilton保守系统问题通过不同途径达到混沌状态，这些都说明对无穷维动力系统的研究已势在必行，但它和有限维动力系统又有着直接的非常复杂的联系。无穷维动力系统具有某些新的重要特征。首先在空间上存在混沌现象，即在空间某个区域产生混沌湍流，而在另一些区域则不出现。例如下面我们将要举出的绕流问题，就是一个典型的例子，而有限维动力系统仅研究时间上的混沌现象。1.引言其次，在空间的某个部分可能产生奇性集，例如在三维空间的不可压缩流体运动中，速度向量的旋度可能在区域的某个部分变成无穷大，著名数学家J.Leray在1932年就预言此时将产生湍

4、流，因此，对无穷维动力系统的研究，可能为湍流的研究开辟一条新的道路，从数学上来看，在对原来有限维动系统S.Smale,J.Moser，Melnihov等人的研究工作基础上，B.Mandelbrot在1997年提出了分形集的概念，O.A.Ladyzhenskaya,M.I.Vishik,P.Cesnstantin,C.Folas,B.Nicolaenko,R.Temam，J.K.Hale等人已对某些具有耗散效应的非线性发展方程的整体吸引子、惯性流形，近似惯性流形，指数吸引子等的存在性，它们的Hansdortf维数、Fractal维数

5、的上下界估计，吸引子的某些动点结构和数值方法，非线性Galechin方法，惯性集等问题进行了多方面深入的研究，取得一系列重要的成果，同时，也举出了一些不存在整体吸引子和惯性流形的例子。1.引言从数学上看，从20世纪70年代末至20世纪90年代中期，对于耗散系统，无穷维动力系统已建立了重要的数学理论，提出了理论研究和数值计算的方法，并促进了泛函分析、分形理论，不变流形、计算数学和拓朴学等数学分类的发展和应用，此段时间形成了一个研究无穷维动力系统的热潮，但从20世纪中期至21世纪初期，由于存在许多更为深入和重要问题得不到解决，研究处于

6、迟缓发展的状态，主要问题是：(i)整体吸引子的口袋太大，它所包含不动点(可能多个)周期解、拟周期解、奇异吸引子等，如何将它们充分地加以分类，研究其不同的拓朴结构特征，遇到很大的困难，惯性流形存在的充分条件也过于苛刻等。(ii)对于保守系统的混沌数学理论的发展目前基本处于空白状态。(iii)它和有限维动力系统的相互联系的细致分析非常欠缺。1.引言不过在这阶段也有某些数学物理学家为了克服这些困难进行了长期艰苦的努力，抛弃了已有的理论框架，采取新的研究方法，最近已取得了可喜的成果，主要表现在：(1)近可积无穷维动力系统的研究，即在完全可

7、积系统的基础上，考虑小的耗散扰动下吸引子的拓朴结构，现对一类小扰动下的非线性Schrodinger方程等已证明同宿轨道的不变性，并在空间离散的情况下，证明严格Smale马蹄的存在性，并由此提供了一种研究保守系统走向混沌的研究方法，(2)已用Bourgain方法，对于具低正则性的初始条件具耗散的非线性发展方程证明了整体吸引子的存在性，大大地改善了原有结果。(3)对于一类非线性抛物型方程（组）证明了在整体吸引子上存在某一闭子集拓朴共扼于有限维的符号动力系统，即真正时空混沌的存在性。1.引言(4)无穷维半离散系统建立了相应的无穷维动力系

8、统理论，它有利于和有限维动力系统建立联系。(5)随机无穷维动力系统，即在原动力系统加上随机扰动项，包括Burgers方程，天气预报方程等已作出了初步的成果。以上可以看出，无穷维动力系统的研究目前正处在新的发展阶段，发展的道路是曲折的，但前途是光明的