3_5连续时间lti系统零状态响应

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1、北京交通大学信号处理课程组连续时间LTI系统的零状态响应系统零状态响应卷积积分的计算卷积积分的性质1.系统零状态响应若输入信号为x(t)，连续时间LTI系统的冲激响应为h(t），则系统的零状态响应yzs(t)为：由此可见，连续时间LTI系统的零状态响应是输入信号与系统冲激响应的卷积积分，此揭示了信号与系统在时域相互作用的机理。（卷积）解析方法：直接按照卷积积分的表达式进行解析计算2.卷积积分的计算卷积是计算零输入响应yzs(t)的基本工具。卷积的定义：一、解析计算例：已知试计算解：暗含注意：1.积分上下限问题；2.积分结果的始终点问题。解:

2、[例]求卷积积分(1)将x(t)和h(t)中的自变量由t改为；图形法计算卷积积分的步骤：(2)将其中一个信号翻转得h(－)，再平移t得到h(t－)；(3)将x(t)与h(t－)相乘，对乘积后信号进行积分。(4)不断改变平移量t，分别计算x(t)h(t－)的积分。二、图形计算[例]计算y(t)=x(t)*h(t)a)t<0b)0t<1y(t)=0解：[例]计算y(t)=x(t)*h(t)解：c)1t<2d)2t<3[例]计算y(t)=x(t)*h(t)。解：e)3t[例]计算y(t)=x(t)*h(t)。解：综上可知：注意：

3、1.结果的始点为两信号始点之和,终点为两信号终点之和。2.方波和方波卷积结果是等腰梯形。[练习]计算y(t)=x(t)*h(t)口算练习1：u(t)*u(t)口算练习2：y(t)=x(t)*h(t)。=r(t)3.卷积积分的性质奇异信号的卷积积分延迟特性微分特性积分特性等效特性卷积积分的性质交换律分配律结合律平移特性展缩特性(1)交换律等价于(2)分配律等价于(3)结合律等价于(4)微分特性则(5)积分特性则(6)卷积的等效特性则(7)平移特性已知x1(t)*x2(t)=y(t)则x1(t-t1)*x2(t-t2)=y(t–(t1+t2))

4、(8)展缩特性4.奇异信号的卷积(1)延时特性x(t)*(t-T)=x(t-T)(2)微分特性x(t)*'(t)=x'(t)(3)积分特性(4)等效特性(1)延迟特性应用：周期延拓x(t)*(t-T)=x(t-T)说明：系统函数，则系统为微分器(2)微分特性x(t)*'(t)=x'(t)说明：系统函数，则系统为积分器(3)积分特性利用等效特性计算卷积解:[例]利用等效特性，计算y(t)=x(t)*h(t)。x'(t)=d(t)-d(t-1)x'(t)*h(t)=h(t)-h(t-1)解:(1)(2)利用卷积的平移性质和题(1)的结论

5、[例]计算下列卷积积分(1)(2)系统响应的综合求解卷积法零输入响应求解零状态响应求解[例]已知某线性时不变(LTI)系统的动态方程式为t>0输入x(t)=2e-2tu(t)，y(0-)=1，y’(0-)=2试求：(1)系统的零输入响应yzi(t)(2)系统的零状态响应yzs(t)(3)系统的完全响应y(t)[解](1)系统的零输入响应yzi(t)系统的特征方程为s2+7s+12=0解得系统的特征根为s1=-3，s2=-4系统的零输入响应yzi(t)=K1e-3t+K2e-4tt≥0-。代入系统的初始状态y(0-)，y'(0-)有y(0-)

6、=K1+K2=1y'(0-)=-3K1-4K2=2解得待定系数分别为K1=6,K2=-5故yzi(t)=6e-3t-5e-4tt≥0-。先利用冲激平衡法求出冲激响应h(t)=[-3e-3t+5e-4t]u(t)(2)系统的零状态响应yzs(t)注意：系统响应时间范围的表示零输入响应yzi(t)，t≥0-。零状态响应yzs(t)，用u(t)表示。完全响应y(t)，取两者公共部分t>0。(3)系统的完全响应y(t)(1)根据系统动态方程所对应的齐次方程式求系统的特征根(2)根据系统特征根设系统零输入响应yzi(t)的形式(3)由系统初始状态求出

7、yzi(t)中的待定系数，从而解得零输入响应yzi(t)(4)求系统的冲激响应h(t)(5)由输入激励x(t)与冲激响应h(t)的卷积，得到系统的零状态响应yzs(t)卷积法求解系统响应小结