选修4-4平行射影

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1、第三讲圆锥曲线性质的探讨时静2008年8月（一）平行投影复习与引入1、点在直线上的正射影MNAA‘2、直线在直线上的正射影NMABA‘B‘思考：点、直线在平面上的正射影是什么呢？给定一个平面，从一点A作平面的垂线，垂足为点A′称为点A在平面上的正射影那么，一条直线在平面上的正射影是什么样的图形呢？AA′一个图形上各点在平面上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面上的正射影AA′B′Bααα思考：一个圆所在的平面与平面平行时，该圆在平面上的正射影是什么图形？当平面与平面不平行时，圆在平面上的正射影是什么图形？αββαββ如果平面与平面垂直时，圆在平面上的正射影又是什么

2、图形？如果取消“垂直”的限定，那么正射影的概念可以作进一步推广。设直线l与平面相交，称直线l的方向为投影方向。过A点作平行于l的直线（称为投影线）必交与一点A′称点为A沿l的方向在平面上的平行射影。AA′αββαα一个图形上各点在平面上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影。显然，正射影是平行射影的特例。思考：两条相交直线的平行射影是否还是相交直线？两条平行直线的平行射影是否还是平行直线？将一个放在桌面上的玻璃杯中倒入半杯水，观察水平面所成的图形定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆。如果将玻璃杯倾斜一定的角度，此时水平面又是一个什么样的图

3、形？我们分析一下图中的水平面的结构，水平面的图形可看成是以杯子（圆柱）的母线为投影方向，杯口（圆）在水平面所在平面上的射影。其中，点A的投影为点E,点D的投影为F，显然EF>AD。与杯口（圆）的直径AD垂直的直径ＧＨ在水平面上的射影ＰＱ的长度保持不变，因此ＥＦ＞ＰＱ，于是杯口（圆）的射影不是一个圆，而是椭圆AEPHQFGC结论：用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱的两底面平行时，截面是一个圆；当平面志圆柱的两底面不平行时，截面是一个椭圆。（二）平面与圆柱面的截线ABCDEFF1F2O1O2G1G2问题：（1）G2F1+G2F2与AD什么关系？（2）AD的长与G1G2什

4、么关系？（3）G2F1与G2E有什么关系？ABCDF1F2O1O2G1G2PK2K1PF1+PF2=PK1+PK2=AD（AD为定值）定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆ABCDF1F2O1O2G1G2PK2K1QEF准线离心率（三）平面与圆锥面的截线ABCPD问题：当与满足什么关系时（1）与AB（或AB的延长线），AC都相交（2）与AB不相交（3）与BA的延长线，AC都相交ABCPDFGE(1),与AB(或AB的延长线)、AC都相交。(2),与AB不相交。(3),与BA的延长线、AC都相交。定理2在空间中，取直线为轴，直线与相交于O点，夹角为，围绕旋转得到以O为顶点，为

5、母线的圆锥面，任取平面，若它与轴的交角为（当与平行时，记），则(1),平面与圆锥的交线为椭圆；(2),平面与圆锥的交线为抛物线；(3),平面与圆锥的交线为双曲线；1交线为椭圆时的证明S1S2F1F2PQ2Q1PF1+PF2=PQ1+PQ2=Q1Q2（Q1Q2为定值）2椭圆的性质常考知识点高考:无模拟考:(1)平行投影的性质(2)球的切线与切面(3)圆柱面的内切球与圆柱面的平面截线(4)圆锥面及其内切球