因式分解的应用

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1、因式分解的应用　　第三讲因式分解的应用　　在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形，是研究代数式、方程和函数的基础．　　　因式分解是代数变形的重要工具．在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，现阶段．因式分解在数值计算，代数式的化简求值，不定方程(组)、代数等式的证明等方面有广泛的应用．同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高．　　因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一．　　例题求解　　【例1】若，则的值为　　　．　　　(全国初

2、中数学联赛题)　　思路点拨恰当处理两个等式，分解关于的二次三项式．　　注：　　在信息技术飞速发展的今天，信息已经成为人类生活中最重要的因素．在军事、政治、商业、生活等领域中，信息的保密工作显得格外重要．现代保密技术的一个基本思想，在编制密码的工作中，许多密码方法，就来自于因数分解、因式分解技术的应用．　　代数式求值的常用方法是：　　　(1)代入字母的值求值；(2)通过变形，寻找字母间的关系，代入关系求值；　　(3)整体代入求值．　　【例2】已知a、b、c是一个三角形的三边，则的值(　)　　　A．恒正　B．恒负C．可正可负D．非负　　　(大原市竞赛题

3、)　　　思路点拨从变形给定的代数式入手，解题的关键是由式于的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理的约束．　　　【例3】计算下列各题：　　　（1）；　　　（2）　　　思路点拨观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情形考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律．　　　【例4】已知n是正整数，且n4—16n2+100是质数，求n的值．　　　(“希望杯’邀请赛试题)　　　思路点拔从因数分解的角度看，质数只能分解成l和本身的乘积(也可从整除的角度看)，故对原式进行恰当的分解变形，是解本例的最自然的思路．　　【例5】(1)求方程的整数解；　　　(上海

4、市竞赛题)　　　(2)设x、y为正整数，且，求的值．　　　(“希望杯”邀请赛试题)　　　思路点拔观察方程的特点，利用整数解这个特殊条件，运用因式分解或配方，寻找解题突破口．　　链接　　　解题思路的获得，一般要经历三个步骤：　　(1)从理解题意中提取有用的信息，如数式特点、图形结构特征等；　　(2)从记忆储存中提取相关的信息，如有关公式、定理、基本模式等；　　(3)将上述两组信息进行进行有效重组，使之成为一个舍乎逻辑的和谐结构．　　不定方程(组)的基本解法有：　　　(1)枚举法；(2)配方法；(3)因数分解、因式分解法；(4)分离系数法．　　运用这些

5、方法解不定方程时，都需灵活运用奇数偶数、质数合数、整除等与整数相关的知识．　　学力训练　　1．已知x+y＝3，，那么的值为　　　．　　2．方程的整数解是　　．(“希望杯”邀请赛试题)　　3．已知a、b、c、d为非负整数，且ac+bd+ad+bc=1997，则a+b+c+d＝　　　．　　4．对一切大于2的正整数n，数n5一5n3+4n的量大公约数是　　　．　　　(四川省竞赛题)　　5．已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是(　　)　　　A．41，48　B．45，47　C．43，48　D．4l，47　　　6，已知2x2－3xy+y

6、2＝0(xy≠0)，则的值是(　　)　　　A．2，　B．2　C．　　D．－2，　　7．a、b、c是正整数，a>b，且a2-ac+bc=7，则a—c等于(　)　　　A．一2　B．一1　C．0　D．2　　　(江苏省竞赛题)　　8．如果，那么的值等于(　)　　　A．1999　B．2001　C．2003　D．2005　　　（武汉市选拔赛试题）　　9．(1)求证：8l7一279—913能被45整除；　　　(2)证明：当n为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差；　　　（3）计算：　　10．若a是自然数，则a4－3a+9是质数还是合数?给出

7、你的证明．　　(“五城市”联赛题)　　11．已知a、b、c满足a+b＝5，c2＝ab+b－9，则c＝　　　．　(江苏省竞赛题)　　12．已知正数a、b、c满足ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c，则(a+1)(b+1)(c+1)=　　．(北京市竞赛题)　　13．整数a、b满足6ab＝9a—l0b+303，则a+b=　　　．(“祖冲之杯”邀请赛试题)　　14．已知，且，则的值等于　　．　　　(“希望杯”邀请赛试题)　　15．设a

8、为(　)　　　A．x