平面结构问题的有限单元法

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1、14.1平面应力问题第四章平面结构问题的有限单元法4.2平面应变问题4.3平面问题的离散化4.4平面三结点三角形单元4.5ANSYS平面结构计算示例2严格地说，任何弹性体都是处于三维受力状态，因而都是空间问题，但是在一定条件下，许多空间问题都可以简化成平面问题。平面问题可以分为两类：平面应力问题和平面应变问题。图4-1平面问题应力状态第四章平面结构问题的有限单元法34.1平面应力问题图4-2(a)平面应力问题如图所示的深梁结构，其厚度方向的尺寸远比其它两个方向的尺寸小得多，可视为一薄板。它只承受作用在

2、其平面内的载荷，且沿厚度方向不变，计算时以中性面为研究对象。其力学特点是：平面应力问题的应力应变转换矩阵即弹性矩阵为：。第四章平面结构问题的有限单元法4图4-2(b)平面应变问题4.2平面应变问题图示为一圆形涵洞的横截面。其长度方向上的尺寸远比其它两个方向上的尺寸大得多，同样，载荷作用在xy坐标面内，且沿z轴方向均匀分布。其力学特点是：但一般情况下平面应变问题的弹性矩阵只需将式(4-1)中的E换成换成，即可。。第四章平面结构问题的有限单元法5无论是平面应力问题还是平面应变问题的应力与应变之间的关系均为

3、：，其中：为初应变。式中4.3平面问题的离散化(a)三结点三角形单元(b)四结点正方形单元(c)四结点矩形单元(d)四结点四边形单元图4-3平面问题单元的主要类型第四章平面结构问题的有限单元法6图4-4(a)表示的是带有椭圆孔的平板，在均匀压力作用下的应力集中问题。图4-5(b)是利用结构的对称性，采用三结点三角形单元而离散后的力学模型，各单元之间以结点相连。(a)均匀受力板力学模型(b)力学模型离散化图4-4平面问题有限单元法的计算力学模型第四章平面结构问题的有限单元法74.4平面三结点三角形单元4

4、.1.1位移函数图4-5三角形单元如果把弹性体离散成为有限个单元体，而且单元很小时，就很容易利用其结点的位移，构造出单元的位移插值函数，即位移函数。位移函数矩阵形式：第四章平面结构问题的有限单元法8简写为：由于位移函数适用于单元中的任意一点，所以带入3个结点的坐标后，得出结点处位移函数为简写为：第四章平面结构问题的有限单元法9解出其中，是三角形单元的面积，当三角形单元结点i、j、m按逆时针次序排列时，则有4.4.2形函数矩阵第四章平面结构问题的有限单元法10其中记号表示将i、j、m进行轮换后，可得出另

5、外两组带脚标的a、b、c的公式。单元位移函数为结点位移的插值函数，即第四章平面结构问题的有限单元法(4-9)11令在式(4-10)中表示的称为形函数，于是位移函数表达式用形函数表示为：(4-10)(4-11)写成矩阵形式(4-12)第四章平面结构问题的有限单元法12由几何方程知将式(4-9)代入式(4-13)中，并求偏导数，得(4-13)4.4.3单元的应力与应变第四章平面结构问题的有限单元法13简写为：(4-14)由于[B]是常量，单元内各点应变分量也都是常量，这是由于采用了线性位移函数的缘故，这种

6、单元称为常应变三角形单元。(4-15)第四章平面结构问题的有限单元法14由弹性力学的物理方程可知，其应力与应变有如下关系：(4-16)将式(4-14)代入式(4-16)，得(4-17)式中(4-18)[S]称为应力转换矩阵，对平面应力问题，其子矩阵为(4-19)由式(4-17)看出，应力分量也是一个常量。在一个三角形单元中各点应力相同，一般用形心一点表示。其应变也可同样表示。第四章平面结构问题的有限单元法15用虚功原理来建立结点力和结点位移间的关系式，从而得出三角形单元的刚度矩阵。(a)实际力系(b)

7、虚设位移图4-6弹性体虚功原理的应用4.4.4三角形单元刚度矩阵第四章平面结构问题的有限单元法16结点力列向量和应力列向量分别为结点虚位移列向量和虚应变列向量为用虚功原理建立三角形单元的虚功方程为由式(4-12)式知，代入式(4-20)得(4-20)第四章平面结构问题的有限单元法17由于虚位移是任意的，等号两边可左乘，得(4-21)三角形单元的刚度矩阵可写成(4-22)用分块矩阵形式表示(4-23)第四章平面结构问题的有限单元法18结构的平衡条件可用所有结点的平衡条件表示。假定i结点为结构中的任一公共

8、结点，则该结点平衡条件为：——i结点的结点力列向量——围绕i结点所有单元的结点力的向量和——i结点的载荷列向量。4.4.5整体刚度矩阵第四章平面结构问题的有限单元法19每个结点由两个平衡方程组成，若结构共有n个结点，则有2n个平衡方程。整个结构的平衡条件由式(4-24)求和得到，即：i＝1，2，……n(4-26)(4-27)其中，[K]为结构整体刚度矩阵；为结构的结点位移列向量。(4-28)第四章平面结构问题的有限单元法20将式(4-26)、式(4-27