ANSYS平面问题的有限单元法

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1、平面问题的有限单元法Definition2001年10月1日1ANSYS培训教程–版本5.5–XJTUMSSV(001128)结构的离散化用有限元法对结构进行应力分析时，首先要将结构进行离散化。即将一个连续体看成由有限个单元组成的体系。弹性力学平面问题中最常见的单元是三角形单元。所有作用在单元上的载荷都按静力等效的原则移置到结点上，并在受几何约束的结点处设置相应的铰支座。这样就得到了用以代替原来弹性体的有限单元计算模型。Procedure1......2......3......2001年10月1日2ANSYS培

2、训教程–版本5.5–XJTUMSSV(001128)位移模式取一个典型的三角形单元进行力学分析。在有限单元位移法中，假设结点上的位移是基本未知量。为了能用单元的结点位移表示单元中的应变和应力分量，必须假定一个位移模式，也就是说根据单元的结点位移去构造单元上的位移插值函数。LessonObjectives2001年10月1日3ANSYS培训教程–版本5.5–XJTUMSSV(001128)位移模式（续）2001年10月1日4ANSYS培训教程–版本5.5–XJTUMSSV(001128)位移插值函数采用线性插值，即

3、假定单元上的位移分量是坐标的线性函数：它们可以由结点位移确定如下：Definition2001年10月1日5ANSYS培训教程–版本5.5–XJTUMSSV(001128)位移模式(续)联立求解上述方程，可得：2001年10月1日6ANSYS培训教程–版本5.5–XJTUMSSV(001128)位移模式(续)其中：而：是三角形ijm的面积。2001年10月1日7ANSYS培训教程–版本5.5–XJTUMSSV(001128)位移模式(续)于是可以得到：其中：同理得：2001年10月1日8ANSYS培训教程–版本5

4、.5–XJTUMSSV(001128)位移模式(续)可以将位移模式改写为矩阵模式：2001年10月1日9ANSYS培训教程–版本5.5–XJTUMSSV(001128)单元中的应变和应力有了单元的位移模式，就可以借助平面问题的几何和物理方程，导出用单于的结点位移表示单元中的应变和应力分量的公式。由：ModuleObjective2001年10月1日10ANSYS培训教程–版本5.5–XJTUMSSV(001128)单元中的应变和应力(续)得到：或简写为：2001年10月1日11ANSYS培训教程–版本5.5–XJ

5、TUMSSV(001128)单元中的应变和应力(续)将应变代入物理方程：可得：即为用单元中的结点位移表示单元中应力的关系式。2001年10月1日12ANSYS培训教程–版本5.5–XJTUMSSV(001128)单元中的应变和应力(续)式中[D]为弹性矩阵，对于平面应力问题，矩阵为：2001年10月1日13ANSYS培训教程–版本5.5–XJTUMSSV(001128)单元的总势能我们已经知道由各个单元的位移模式就形成了整个结构的位移模式。按弹性力学最小势能原理，结构中最接近于真实解的位移应该是使结构总势能取得最

6、小值的那组位移函数。由于在位移函数公式中，结点位移为自变量，这样就使一个泛函的极值问题变为一个多元函数的极值问题。为此我们来讨论单元的总势能关于结点位移的表达式。每一个单元的总势能由该单元的应变能以及此单元上所有外力的势能组成。Definition2001年10月1日14ANSYS培训教程–版本5.5–XJTUMSSV(001128)单元的应变能平面应力状态下，设物体厚度为h，则单元中的应变能为：Definition2001年10月1日15ANSYS培训教程–版本5.5–XJTUMSSV(001128)单元的应变

7、能（续）将{ε}和[Bi]代入上式，应用矩阵相乘的转置的逆序法则,注意到弹性矩阵[D]的对称性,有：2001年10月1日16ANSYS培训教程–版本5.5–XJTUMSSV(001128)单元的应变能（续）因为矩阵[B]及[D]的元素都是常量，所以可记：2001年10月1日17ANSYS培训教程–版本5.5–XJTUMSSV(001128)单元的应变能（续）从而单元的应变能可写为：利用{ε}=[B]{δ}e，有：2001年10月1日18ANSYS培训教程–版本5.5–XJTUMSSV(001128)单元的应变能（

8、续）注意到[B]=[BiBjBm]，记子矩阵2001年10月1日19ANSYS培训教程–版本5.5–XJTUMSSV(001128)单元上体积力的势能物体中常见的体力为旋转离心体力和重力。在平面问题中，体积力在z轴方向的分力为零，设单元体积中的体积力为：单元上体积力具有的势能为：Definition2001年10月1日20ANSYS培训教程–版本5.5–XJTUMSSV(