平面问题有限单元法

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1、第六章用有限单元法解平面问题第六章用有限元法解平面问题第五节单元的结点力列阵与劲度矩阵第四节单元的应变列阵和应力列阵第三节单元的位移模式与解答的收敛性第二节有限单元法的概念第一节基本量及基本方程的矩阵表示概述第六节荷载向结点移置单元的结点荷载列阵第六章用有限单元法解平面问题第六章用有限元法解平面问题例题第十一节应用变分原理导出有限单元法的基本方程第十节计算实例第九节计算成果的整理第八节解题的具体步骤单元的划分第七节结构的整体分析结点平衡方程组习题的提示与答案教学参考资料第六章用有限单元法解平面问题第六章用有限单元法解平面问题1.有

2、限元法（FiniteElementMethod）FEM2.FEM的特点概述（1）具有通用性和灵活性。首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。第六章用有限单元法解平面问题简史3.FEM简史（2）对同一类问题，可以编制出通用程序，应用计算机进行计算。（3）只要适当加密网格，就可以达到工程要求的精度。1943年柯朗第一次提出了FEM的概念。FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展和广泛应用的一种数值解法。第六章用有限单元法解平面问题1970年后，FEM被引入

3、我国，并很快地得到应用和发展。简史1956年，特纳等人提出了FEM。20世纪50年代，平面问题的FEM建立，并应用于工程问题。1960年提出了FEM的名称。20世纪60年代后，FEM应用于各种力学问题和非线性问题，并得到迅速发展。第六章用有限单元法解平面问题导出方法5.本章介绍平面问题的FEM4.FEM的主要导出方法应用静力方法或变分方法导出。仅叙述按位移求解的方法。且一般都以平面应力问题来表示。第六章用有限单元法解平面问题§6-1基本量和基本方程的矩阵表示本章无特别指明，均表示为平面应力问题的公式。采用矩阵表示,可使公式统一、

4、简洁，且便于编制程序。第六章用有限单元法解平面问题基本物理量：体力:基本物理量位移函数:应变:应力:结点位移列阵:结点力列阵:面力:第六章用有限单元法解平面问题物理方程:FEM中应用的方程：几何方程:应用的方程其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题是:第六章用有限单元法解平面问题--结点虚位移;--对应的虚应变。应用的方程ij虚功方程:其中:在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡微分方程，后者不再列出。第六章用有限单元法解平面问题3.整体分析。§6-2有限单元法的概念FEM的概念，可以简述为：采用有限自由度的离散单元组合体模型去描述实际

5、具有无限自由度的考察体，是一种在力学模型上进行近似的数值计算方法。其理论基础是分片插值技术与变分原理。FEM的概念1.将连续体变换为离散化结构；2.单元分析；FEM的分析过程：第六章用有限单元法解平面问题结构力学研究的对象是离散化结构。如桁架，各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联系（图（a））。弹力研究的对象，是连续体（图（b）)。结构离散化1.结构离散化－－将连续体变换为离散化结构第六章用有限单元法解平面问题将连续体变换为离散化结构（图（c））：即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起

6、来，构成所谓‘离散化结构’。结构离散化第六章用有限单元法解平面问题图（c）与图(a）相比，两者都是离散化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而图（c）的单元是三角形块体（注意：三角形单元内部仍是连续体）。结构离散化例如：将深梁划分为许多三角形单元，这些单元仅在角点用铰连接起来。第六章用有限单元法解平面问题2.单元分析求解方法每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、各向同性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体，应按弹性力学方法进行分析。取各结点位移为基本未知量。然后对每个单元,分别求出各物理量,并均用来表示。第六章用有限单元法解平面问题（

7、1）应用插值公式,由单元结点位移，求单元的位移函数求解方法这个插值公式称为单元的位移模式，为：单元分析的主要内容：第六章用有限单元法解平面问题（4）应用虚功方程，由单元的应力，求出单元的结点力，表示为（3）应用物理方程，由单元的应变，求出单元的应力，表示为（2）应用几何方程，由单元的位移函数d，求出单元的应变，表示为求解方法第六章用有限单元法解平面问题－－单元对结点的作用力，与数值相同,方向相反，作用于结点。--结点对单元的作用力，作用于单元，称为结点力，以正标向为正。求解方法第六章用有限单元法解平面问题（5）将每一单元中的各种外

8、荷载，按虚功等效原则移置到结点上，化为结点荷载，表示为求解方法第六章用有限单元法解平面问题为已知值,是用结点位移表示的值。通过求解联立方程，得出各结点位移值，从而求出各单元的应变和应力。各单位移置到i结点上的结点荷载其中表示对围绕i结点的单元求和；