平面问题的有限元法

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1、平面问题的有限元法平面问题的有限单元法第三节形函数的性质第五节等效节点力载荷列阵第六节有限元分析的实施步骤第一节有限元法基本思想和解题步骤第二节三角形常应变单元第四节刚度矩阵返回第一节有限元法基本思想和解题步骤平面问题的有限单元法一、有限元法的基本思想假想的把一连续体分割成数目有限的小体（单元），彼此间只在数目有限的指定点（节点）相互连结，组成一个单元的集合体以代替原来的连续体，再在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。选择一个简单的函数来近似地表示位移分量的分布规律，建立位移和节点力之间的关系。有限元法的实质是：把有无限个自由度的连续体，理想化为只有有限个自由度的单元集合体，

2、使问题简化为适合于数值解法的结构型问题。返回平面问题的有限单元法二、经典解与有限元解的区别：微分数目增到∞建立一个描述连续体经典解法——（解析法）大小趋于0性质的偏微分方程有限单元离散化集合总体分析解有限元法——连续体——单元——代替原连续体（近似法）（单元分析）线性方程组返回xy为平面应力问题，由于结构的对称性可取结构的1/4来研究，故所取的力学模型平面问题的有限单元法三、有限元法算题的基本步骤1.力学模型的选取（平面问题，平面应变问题，平面应力问题，轴对称问题，空间问题，板，梁，杆或组合体等，对称或反对称等）例如：返回根据题目的要求，可选择适当的单元把结构离散化。对于平面问题可用三

3、角元，四边元等。平面问题的有限单元法2.单元的选取、结构的离散化例如：返回结构离散化后，要用单元内结点的位移通过插值来获得单元内各点的位移。在有限元法中，通常都是假定单元的位移模式是多项式，一般来说，单元位移多项式的项数应与单元的自由度数相等。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。平面问题的有限单元法3.选择单元的位移模式（3-1）——单元内任一点的位移列阵；——单元的结点位移列阵；——单元的形函数矩阵；（它的元素是任一点位置坐　　　　　标的函数）返回平面问题的有限单元法4.单元的力学特性分析把（3-1）式代入几何方程可推倒出用单元结点位移表示的

4、单元应变表达式：（3-2）式中：——单元内任一点应变列阵；——单元的应变矩阵；（它的元素仍为位置坐标的　函数）再把（３－２）式代入物理方程，可导出用单元结点位移列阵表示的单元应力表达式：（3-3）返回最后利用弹性体的虚功方程建立单元结点力阵与结点位移列阵之间的关系，即形成单元的刚度方程式：平面问题的有限单元法式中：——单元内任一点的应力列阵；——单元的弹性矩阵，（它与材料的特性有关）式中：——单元刚度矩阵（3-4）（3-5）返回考虑整体结构的约束情况，修改整体刚度方程之后，（3-6）式就变成以节点位移为未知数的代数方程组。解此方程组可求出节点位移。用直接刚度法将单刚组集成总纲，并将组集

5、成总载荷列阵，形成总体结构的刚度方程：（3-6）解出整体结构的节点位移列阵后，再根据单元节点的编号找出对应于单元的位移列阵，将代入（3-3）式就可求出各单元的应力分量值。平面问题的有限单元法5.建立整体结构的刚度方程6.求解修改后的整体结构刚度方程7.由单元的节点位移列阵计算单元应力返回求解出整体结构的位移和应力后，可有选择地整理输出某些关键点的位移值和应力值，特别要输出结构的变形图、应力图、应变图、结构仿真变形过程动画图及整体结构的弯矩、剪力图等等。平面问题的有限单元法8.计算结果输出返回第二节三角形常应变单元一、离散化平面问题的有限单元法在运用有限单元法分析弹性力学平面问题时，第一

6、步就是要对弹性体进行离散化，把一个连续的弹性体变换为一个离散的结构物。对于平面问题，三角形单元是最简单、也是最常用的单元，在平面应力问题中，单元为三角形板，而在平面应变问题中，则是三棱柱。假设采用三角形单元，把弹性体划分为有限个互不重叠的三角形。这些三角形在其顶点（即节点）处互相连接，组成一个单元集合体，以替代原来的弹性体。同时，将所有作用在单元上的载荷（包括集中载荷、表面载荷和体积载荷），都按虚功等效的原则移置到节点上，成为等效节点载荷。由此便得到了平面问题的有限元计算模型，如图3-1所示。返回图3-1弹性体和有限元计算模型平面问题的有限单元法返回图3--2平面三角形单元平面问题的有

7、限单元法返回二、位移平面问题的有限单元法首先，建立以单元节点位移表示单元内各点位移的关系式。设单元e的节点编号为i、j、m。由弹性力学平面问题可知，每个节点在其单元平面内的位移可以有两个分量，所以整个三角形单元将有六个节点位移分量，即六个自由度。用列阵可表示为：其中的子矩阵（i，j，m轮换）(a)式中ui、vi是节点i在x轴和y轴方向的位移。(3-7)返回平面问题的有限单元法选择一个单元位移模式，单元内各点的位移可按此位移模式由单元节点位移通过