第4章 有限元法求解平面问题

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1、第一节基本物理量和方程的矩阵表示有第二节结构离散化限第三节单元位移模式形函数元第四节单元分析单元刚度矩阵分第五节载荷移置析第六节整体分析总体刚度矩阵第七节边界条件处理计算成果整理第八节有限元法求解实例第九节有限元法程序设计简介合肥工业大学有限元第一节有限元法概述分析合肥工业大学有限元法基本思路:离散化划分网格，将连续体划分为有限数量的单元。有构造单元内位移函数；单元内位移节点位移单元位移模式限元单元分析；单元节点力节点位移变分法思想单元刚度矩阵分析整体分析；节点位移外载荷静力平衡总体刚度矩阵,,xyxy物单元

2、位理移模式uxy(,)几何方程方求解；节点位移x,y,xy程vxy(,)合肥工业大学有限元第一节基本物理量和方程的分矩阵表示析合肥工业大学第一节基本物理量和方程的矩阵表示1基本物理量TT外力：fff,fffxyxyT有节点力:FFixFiyFjxFjyFmxFmy...T应力：限xyxyT应变：xyxy元T位移：duv,分T节点位移:uivuijvjumvm...析T虚位移：duv

3、uvTT虚应变：xyxyxyxyT节点虚位移：uiviujvjumvm...合肥工业大学第一节基本物理量和方程的矩阵表示2基本方程0Txuvvuu几何方程：0xyxy符号矩阵：Ly有v限Ldyx元物理方程：10xx分E平面应力问10y2Dy1题弹

4、性矩阵：析1xy00xy2D平面应变问D题弹性矩阵：合肥工业大学第一节基本物理量和方程的矩阵表示虚功方程：[d][]TTfdxdy[d][]TTfds[][]TTdxdy[d][]fdxdytSS[d][]fdst[][]dxdyt有AAAA有限元法中，作用于弹性体的各种外力常以作用于某些点的等效集中限力来代替。元等效T[],[]ffFFixFiyFjxFjyFmxFmy...分T[d

5、]uvuvuv...析iijjmmfuxfyvdxdySfuxfyvdsTTA[][]F[][]dxdytAdxdyxxyyxyxyA合肥工业大学有限元第二节结构离散化分析合肥工业大学第二节结构离散化将连续体变换为离散化结构：将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些节点处连接，构成所谓“离散化结构”。1单元要素有节点：单元与单元之间的连接点（i,j,m）。m节点限节点位移：节点产生的位移。单元jeT[]

6、[]元ijmiT[uvuvuv]iijjmm分节点力：通过节点传递的内力。深梁（离散化结构）析eTT[]F[FFF][FFFFFF]ijmixiyjxjymxmy节点载荷：作用在节点上的载荷（外力）。eTT[F][FFF][FFFFFF]LLiLiLiLixLiyLjxLjyLmxLmyT单元位移：单元内位移分布（u(x,y),v(x,y)）duv合肥工业大学第二节结构离散化2单元类型一维单元：如杆单元，梁单元有二维单元：如三角形单元，四边形单元。三维单元：如四面体单元，六面体单元，棱柱单元。限元

7、分析3连续体离散化模型单元间仅通过节点连接，没有其它联系；位移，载荷仅通过节点传递；单元内依然是连续体，位移是坐标的连接函数。合肥工业大学有限元第三节单元位移模式解的收敛性分析合肥工业大学第三节单元位移模式解的收敛性1单元位移函数将连续体离散化后，各单元间通过节点相连，但每个单元仍然是连续的，有即单元内位移是坐标的连续函数：uxy(,),vxy(,)物理意义表示了单元内位移u,v的分布形式，称单元位移模式。限数学意义构造各单元节点位移间的位移插值函数。元变分法在单元上取位移试函数。2形函数设位移函数：分ux

8、y123析vxy14562u1xy0003[]dv0001xy456合肥工业大学第三节单元位移模式解的收敛性T假设已知边界：ix(iyi)(,,),ijm[][iuvii](,,)ijmxyu12i3i