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1、平面桁架的有限元法一、建立有限元模型平面桁架是现成的有限元模型，只有节点力二、单元分析位移假设，几何方程，物理方程，单元刚度矩阵三、总刚度矩阵、总载荷列阵、引入支撑每个节点建立平衡方程集成技术（叠加法、对号入座）四、求解、结果分析，后处理一、建立有限元模型平面桁架是现成的有限元模型，只有节点力桁架原型=有限元模型二、单元分析平面二力杆单元注意：一个单元的节点数目（2）；一个节点的自由度数目（2）；有整体坐标系和局部坐标系之分二、单元分析（先在局部坐标系中进行）问题：当节点位移一定，相应的节点力为多大？节点力与节点位移之间的比例常数为刚度系数
2、目标：建立单元刚度矩阵。方法：结构力学的位移法加虚功原理，皆用节点位移表示。1、位移假设：设各点的位移，即位移场为其中为待定系数，由节点坐标和节点位移确定。将位移写成矩阵形式：在节点上满足：写成矩阵形式：解线性代数方程组，得代入得节点位移与单元内位移的关系其中为形函数。用Machematica推导形函数：在编程中只关心节点位移的系数矩阵2、应变（从位移求应变）只有轴向应变3、应力（从应变求应力，本构方程）4、内力（从应力求内力）二力杆只有轴向力用Machematica推导应力矩阵：(EA的两个字母连写作参数名)用内力表示的物理方程4、单元刚
3、度矩阵（用虚功原理）给节点一组虚位移，单元内即产生相应的虚应变，实际节点力（轴向力、横向力、弯矩）在虚位移上所做的功等于实际应力（横向剪应力可忽略不计）在虚应变上产生的应变能。用Machematica推导单刚矩阵[Ke]：用Machematica推导，所得结果以矩阵形式显示三、总刚度矩阵、总载荷列阵、引入支撑1、坐标变换前面的推导是在局部坐标系中进行的，而总刚度矩阵、总载荷列阵、引入支撑等要在整体坐标中进行，因此，存在坐标变换问题。三、总刚度矩阵、总载荷列阵、引入支撑1、坐标变换三、总刚度矩阵、总载荷列阵、引入支撑2、在总结构和整体坐标中讨
4、论问题，所需要的信息：（1）节点号；（2）单元长度；（2）单元倾角(单元起点到终点的有向线段与整体横轴之夹角）；（4）节点力所在的节点号和作用方向；（5）支撑所在的节点号和作用方向。3、总节点位移向量的排列规律按节点号和节点自由度的顺序（从小到大）排列。三、总刚度矩阵、总载荷列阵、引入支撑建立节点号数组（用Mathematica)：jm=Table[{0,0},{i,ne}];“jm数组名，ne总单元数;”jm={…，{i节点号，j节点号}，…};建立单元长度数组gc=Table[{0},{i,ne}];“gc数组名，ne总单元数;”gc=
5、{L1,L2,…Lne};建立单元方向角数组gj=Table[{0},{i,ne}];“gj数组名，ne总单元数;”gj={af1,af2,…afne};3、总节点位移向量的排列规律jm={{1,2}，{2,3}，…，{i节点号，j节点号}，…};单元节点位移排列规律：rr=2(k-1)+kkk=1,2(单元节点);kk=1,2,(节点自由度)k=1k=2kk=1kk=2总节点位移向量{d}的排列规律(从小到大排序）：ss=2(jm[[e,k]]-1)+kk;e=单元号对每个单元进行节点循环和自由度循环，从单元地址到结构地址搬家是单元到结构
6、的映射(map)3、总节点位移向量的排列规律单元节点位移号：rr=2(k-1)+kk；k=1,2(单元节点)；kk=1,2(节点自由度)总节点位移号：ss=2(jm[[e,k]]-1)+kk；例如，已解得结构的总节点位移向量{d}求各单元的应力。用Mathematica：deg=Table[0,{i,4}];“整体坐标系中的单元节点位移向量”；del=Table[0,{i,4}];“局部坐标系中的单元节点位移向量”；del=se=Table[{0,0},{i,ne}];“单元内力数组ne行”;For[e=1,e<=ne,e++,For[k=
7、1,k<=2,k++,For[kk=1,kk<=2,kk++,rr=2(k-1)+kk；ss=2(jm[[e,k]]-1)+kk；deg[[rr]]=d[[ss]]]];del=Transpose[T[gj[[e]]]].deg;resultant=De.BL.del;se[[e,1]]=e;se[[e,2]]=resultant[[j,1]]];4、总节点载荷向量的排列规律按节点号和节点自由度的顺序（从小到大）排列。设总节点力向量为{Rz}单元节点位移号：rr=2(k-1)+kk；k=1,2(单元节点)；kk=1,2(节点自由度)；总节点
8、位移号：ss=2(jm[[e,k]]-1)+kk；4、总节点载荷向量的排列规律单元节点力号：rr=2(k-1)+kk；k=1,2(单元节点)；kk=1,2(节点自由度)；总节点力
