平面问题的有限元法课件.ppt

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1、4平面问题的有限元法4-1弹性力学基本知识弹性力学研究弹性体变形和应力分布，比材料力学更为一般。弹性力学假设：连续性完全弹性均匀各向同性微小变形无初应力一弹性力学平衡方程弹性体中取出单元体：根据单元体的平衡条件可以得到3个平衡方程：独立的应力分量只有6个3个正应力：3个剪应力：二几何方程应变和位移的关系方程有6个：三物理方程应力和应变关系方程有6个：—杨氏弹性模量；—泊松比；—剪切弹性模量以上共有15个方程（3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程），共有15个未知量（6个应力分量，6个应变分量，3个位移分量）

2、。从理论上讲，只要给定边界条件，各种情况下的弹性力学问题都是可解的。但实际情况是，这一组方程太复杂，只有在非常简单的受力和约束边界条件下，才可求得解析解。因此，工程中的弹性力学问题大多都是用近似或数值方法求解，如有限差分法或有限元法。四弹性力学平面问题根据物体的几何形状和受力，可以把三维问题降为二维问题处理，这样的问题有两种：平面应力问题和平面应变问题。1平面应力问题几何和受力特点：等厚薄板，外载荷作用在板的周边，并沿板厚均匀分布，因此：这样，平面应力问题的应力分量就只有3个：但注意：z方向的应变不等于零。2平

3、面应变问题几何和受力特点：一个方向的尺寸远远大于另外两个方向的尺寸；外力沿这个大尺寸方向均匀分布。比如水坝，在其长度方向上任取一平面，该平面垂直于水坝长的方向。该方向的位移为0，变形仅发生在xy平面内。但注意：z方向应力不等于零。平面问题的弹性力学方程平衡方程：几何方程：物理方程：平面应力：平面应变：将平面应力问题的物理方程中的换成，换成，就成为平面应变问题的物理方程。再次提请注意：平面应力问题：平面应变问题：以上共有8个方程（2个平衡方程，3个几何方程，3个物理方程），可以求解8个未知数（2个位移，3个应力，

4、3个应变）。4-2平面问题的有限元模型平面杆架分析，单元就是杆件。平面问题要做分划，比如三角形单元，矩形单元。分割时要求保证单元边界位移的连续性。一单元分割1分割类型；2尺寸大小及数量；3边界上的单元的节点最好就是集中力的作用点。二位移插值函数位移插值函数：根据单元上节点的数量来定义，它应满足3个条件：1反映刚体位移，即有常数项；2反映常应变，即有一次项；3单元内和边界位移协调（也称连续，相容），即单元边界的位移仅由该边界的节点位移值决定。因为边界上的节点为两个单元所共有，故对两个单元来说，该公共边界的位移值是

5、一样的，此即连续性。4-3平面问题的三角形单元求解使用前面一章中的七个步骤来讨论有限元问题的计算格式。第一步：选择适当的坐标系，写出单元的位移和节点力向量。建立如图所示的坐标系。取三角形单元，在三个角点上各有一个节点，每一个节点有两个位移、两个节点力。第二步选择适当的位移插值函数以节点位移作为已知量，求解（插值）单元内位移，可以定义的单元内任意一点的位移为：以上插值函数满足：1有常数项；2有一次项；3在边界上位移连续。对于3，事实上将单元边界的方程代入单元边界的位移表达式（单元内的位移表达式也包含单元边界）可得

6、因为单元边界上任意点的位移仅由两个参数决定，这两个参数可以由边界上的两个点的位移唯一确定，所以保证了单元边界位移的连续性（或相容性）。第三步：求单元内任意一点的位移与节点位移的关系。这一步的目的是求出。将各节点的坐标和相应的位移值代入单元内任意一点的插值函数表达式合起来有可以求得：式中用节点位移表示的单元内任意一点的位移为—单元形状函数，它是节点位移为1时，单元内任意一点的位移的表达式。的显式为第四步：求单元应变—单元位移—节点位移之间的关系将代入上式有其中称为三角形单元的几何矩阵。第五步：求应力—应变—节点位

7、移之间的关系对于平面应力问题以应变表示应力有或—平面应力问题的弹性矩阵。平面应变问题将平面应力问题的方程中的换成，换成，就转换为平面应变问题。为统一起见，将写成对于平面应力问题对于平面应变问题第六步：求节点力与节点位移的关系类似前一章的做法，利用虚功原理推导两者之间的关系。设节点的虚位移向量为节点外力在虚位移上所做的虚功为设虚位移引起的单元内任意点处的虚应变为则应力在虚应变上作做的功（=单位体积上的应变能）为式中整个单元上的虚应力功（=虚应变能）为因为所以因为在三角形单元中，都是常数，所以显式的三角形矩阵为其中

8、可以看到对称。按照前述，将每个单元的合成，即可得到对上式引入边界条件和外载荷条件，即可求解。第七步：单元应力与节点位移的关系[例]有一正方形板，沿对角承受压力作用，板厚，载荷，为简化计算，设泊松比，材料弹性模量为，求它的应力分布。解：由于结构几何对称，所受载荷也对称，所以可取板的1/4做为计算对象。单元分划如图。因为对称性，节点1，2，4没有水平位移；节点4，5，6没有垂直位移。单元（