人教版数学中考复习专项练习含答案：菱形和矩形的计算和证明问题

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1、zxxk.com菱形和矩形的计算与证明问题专项练习1.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）。（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标。2.在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF。

2、（1）如图1，当E是线段AC的中点时，证明BE=EF。（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其他条件不变时，请你判断（1）中的结论：.（填“成立”或“不成立”）（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其他条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。图1图2图33.在菱形中，，点是对角线上一点，连接，，将线段绕点逆时针旋转并延长得到射线，交的延长线于点。（1）依题意补全图形；zxxk.comzxxk.com备用图（2）求证：；[来源:学#科#网]zxxk.comzxxk.com菱形和矩形的计算与证明问题专项练习[来源

3、:学。科。网Z。X。X。K]参考答案[来源:学科网]1.解：（1）由题设可知A（0，1），B（﹣3，），根据题意得：，解得：，则二次函数的表达式是：y=﹣﹣x+1；（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），则M、P点的坐标分别是（x，﹣x+1），（x，0）。∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，则当x=﹣时，MN的最大值为；（3）连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC，即﹣x2﹣x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=，解得：x=1，或x=-3（不合题意，舍去）故

4、当N（﹣1，4）时，BM和NC互相垂直平分。2.（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，zxxk.comzxxk.com∴△ABC是等边三角形，∵E是线段AC的中点，∴∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE，∵AE=CF，∴CE=CF，∴∠F=∠CEF，∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，∴∠CBE=∠F，∴BE=EF；（2）结论：成立.过点E作EG∥BC，交AB于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=

5、∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE，∴BG=CE，又∵CF=AE，∴GE=CF，又∵∠BGE=∠ECF=120°，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF；（3）结论成立.证明如下：过点E作EG∥BC交AB延长线于点G， zxxk.comzxxk.com∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=BC， 又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形， [来源:学科网]∴AB=AC，∠ACB=60°， 又∵EG∥BC， ∴∠AGE=∠ABC=60°， 又∵∠BAC=60°， ∴△AGE是等边三角形， ∴AG=AE=GE， ∴B

6、G=CE， 又∵CF=AE， ∴GE=CF， 又∵∠BGE=∠ECF=60°， ∴△BGE≌△ECF（SAS）， ∴BE=EF。 3.（1）补全图形，如图1所示。图1图2（2）方法一：证明：连接BE，如图2。∵四边形ABCD是菱形，[来源:Z

7、xx

8、k.Com]∴AD∥BC。，∵∠DCB=60°。∵AC是菱形ABCD的对角线，∴。。由菱形的对称性可知，zxxk.comzxxk.com，。。。∵∠FBC=50°，。。在与中，∴≌。。方法二：证明：连接BE，设BG与EC交于点H，如图3。图3∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC。，。∵AC是菱形ABCD的对角线，∴

9、。。由菱形的对称性可知，，。，。在与中，∴≌。zxxk.comzxxk.com。zxxk.com