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《数学分析(3)模拟考试题(证明题部分)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、多元函数的基本概念及可微性1.证明.证由于,而当时,,所以.由迫敛原理知.2.证明.证由于.又,故.3.证明:不存在.证(法1)令,与有关,故不存在.(法2),两个累次极限存在但不相等,故不存在.4.证明不存在.证当时,,故只要证明不存在即可.函数在直线上无定义,考察动点沿与它相切的曲线趋于时的情形.令得,极限与有关,故不存在.5.证明不存在.证令(该直线与在点相切),.而当时,,所以不存在.6.设求证:(1)存在;(2)与在点处不连续;(3)在处可微.证(1)由于,所以,同理.故存在;(2)当时,令,即动点沿直线趋于时极限不存在,故
2、在处不连续.同理在处也不连续;(3)函数在处的全增量为,记,由于知,故,所以在处可微.7.设证明.证当时,.当时,,.故,,所以.8.设,证明,而在点处不连续.证当时,..当时,,.又,同理,所以.令,即动点沿直线趋于时,所以在点处不连续,同理在点处也不连续.9.若在点的某邻域内有定义,且,其中为常数,证明:(1)在点连续;(2)若,则在点连续,但不可微;(3)若,则在点可微.证令,则由题目条件及极限存在与无穷小的关系可得,其中表示无穷小,即(*)其中是的高阶无穷小.(1)在(*)式两边取极限,得,即在点连续;(2)当时,由于,因为,而不
3、存在,,所以,上式右端的极限不存在,也就是说,在点的处关于的偏导数不存在,同理,在点的处关于的偏导数不存在.因而函数在点不可微.(3)当时,,即,由可微的定义知,在点可微.[说明]本题的解法实质上是一元函数中极限的无穷小表示,即若,表示无穷小(当时).这种解题思路对于由极限条件提出的分析函数在某一点附近的局部性态也是很有用的.例如,当时,讨论函数在点处的极值性质.事实上,由,可推出在点,在任何方向的方向导数都存在,且,当时,该点处的方向导数对为正,故是的一个极小值点;当时,该点处的方向导数对为负,故是的一个极大值点;而当时,无法确定的极值
4、性质.10.若是平面上的连续函数,且曲线是上的一条不自交的封闭曲线.证明:若在曲线所围的区域内有一点使得,则在整个区域内都有.证先作平面曲线,的图形,所围区域内部设为,其边界为,,如图-1所示.我们采用反证法来证明结论.设存在,使得(因为,而使的点都属于,故不可能出现).由于区域是连通的,且不包含边界点,所以,存在内从到的一条连续曲线.根据多元函数在有界闭区域上的零点存在定理可知,存在,使得,因而,所以.此为矛盾.[说明]在判断用多元不等式表示的区域时,我们常用“试点法”.例如,二元不等式表示一个平面区域.要知道这个区域是圆内还是圆外,可
5、用“试点法”判断,只需在平面上任找一点,看是正好是负就能回答这个问题.如取得,,因而,不等式表示的区域为圆的内部.10题的证明就是“试点法”的依据.11.若在平面内可微,证明:(1)若,则存在点使得;(2)若,其中,则对任意的常数和,存在点使得.分析:从题目条件来看,函数在平面上应有最小值,又根据可微条件,最小值点必为极小值点,而极小值点处的梯度为0,即两个偏导数为0.证(1)为了证明最小值的存在性,任取,记,因为,由极限定义得,,对任何的,当时,有.令,则是有界闭域,函数在上连续,因而在上可取到最小值,令其最小值点为,且不在区域的边界上
6、(因为当时,有).从而最小值点只能在的内部,在内部的最小值点必为极小值点.在极小值点,可微函数的梯度为0,即有.(1)得证.(2)利用(1)的结果,构造辅助函数,由于,所以,,从而.由(1)可知,存在,使得,即有.12.设,其中在点处连续.证明在点处可微的充要条件是.证[必要性]若在点处可微,则在此点的偏导数必存在,而,由于存在,因而上述极限存在的必要条件是,又在连续,所以.[充分性]若,则,从而.所以,即,所以函数在点处可微.[说明]该例说明,两个函数均不可微,其乘积仍然有可能是可微的.进一步猜测:若一个函数是可微的,而另一个函数不可微
7、,其乘积函数仍有可能是可微的.13.例若函数在点可微,而在点连续但偏导数不存在,则乘积函数在点可微的充要条件是.证[必要性]因为在点可微,故由于存在,而不存在,因此可得.[充分性]设,则由于在点连续,所以.又在点可微,故代入中得,由于,所以,在点可微,且.14.若在点的某邻域中两个偏导数都存在,其中在此邻域内连续.证明:在点可微.证首先将函数的全增量按两个方向分解(注:其中是用了一元函数的微分中值定理,而成立的理由是:由可推出,即.)这样就有即在点可微.15.设函数定义在圆域上.证明的充要条件是.证[必要性]由于,则对,有,即.[充分性]
8、由于,所以,对,有,从而得到.[说明]这里圆域的条件很重要.因为只是说明函数在任何平行于轴的水平线上增量为0,即为常数,这个常数取决于起点的选择.若在域内不能找到共同的,则不一定只与有关.因此
