异面直线所成的角.ppt

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1、异面直线所成的角（1）定义：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a,b’∥b,我们把直线a’、b’所成的的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角。（2）说明：①直线a’、b’所成锐角（或直角）的大小，只由异面直线a、b的相互位置来确定，与点O的选择无关。②异面直线a、b所成的角的范围是（0。，90。]。（3）作出两条异面直线所成角的基本方法是平移法，也就是将两条异面直线平移成交于一点的两条直线。但要注意平移的标准是有利于计算。例1如图，空间四边形ABCD中，两条对边AB=CD

2、=3，E，F分别是另外两条对边AD，BC上的点，且AE：ED=BF：FC=1：2，EF=，求AB与CD所成的角的大小。解：连结BD，作EG∥AB，交BD于点G，连结GF，∴GF∥CD∴EG与GF所成的锐角（或直角）就是AB与CD所成的角。在△EGF中，EG=AB=2，GF=CD=1，EF=，根据余弦定理，有∴∠EGF=120。，因此，EG与GF所成的锐角为60。，∴异面直线AB与CD所成的角为60。例2已知A，B是直线l上的两点，AC，BD是异面直线，且AC⊥l，BD⊥l，AC与BD成60。角，AC

3、=a，AB=b，BD=c，求异面直线CD和l所成的角。分析：首先在图中作出异面面直线AC和BD，CD和l所成的角。为此，把AC平移到B处，AB平移到C处。解：作BE∥AC，过点C作l的平行线交BE于E，则∠DBE（或其补角）就是异面直线AC，BD所成的角。∴∠DBE=60。或∠DBE=120。∵l⊥AC，BE∥AC，∴l⊥BE又∵l⊥BD，BD∩BE=E，∴l⊥平面BDE∵CE∥l，∴CE⊥平面BDE，又DE平面BDE，∴CE⊥DE因此，△CDE是直角三角形，且∠DCE是异面直线CD和l所成的角。当

4、∠DBE=60。时，在△BDE中，根据余弦定理，有例3已知：直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90。∠BAC=30。，BC=1，AA1=，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M。证法一：作直三棱柱A1B1C1-A2B2C2，使C1为CC2的中点，连结A1B2，B2M。∵AA1=B1B2，且AA1∥B1B2∴AB1∥A1B2∴A1B2与A1M所成的角就是AB1与A1M所成的角。由题设知，A1B1=AB=2A1C1=AC=CC1=在Rt△A1C1M中，证法二：延长CA至D，使CA=AD。延长C1

5、A1至D1，使C1A1=A1D1。设DD1的中点为N，连结AN，则AN=A1M=CDAN∥A1M∥CD，∴AB1与AN所成的角就是AB1与A1M所成的角。连结B1N和B1D1，在Rt△B1C1D1中，B1C1==1，C1D1=2，