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《共线向量基本定理引申和其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、共线向量基本定理的引申及其应用一．问题提出共线向量基本定理的内容是：平面内两个向量和，若存在唯一实数λ，使得则和共线。利用这一定理可以证明三点A,B,C共线，即存在唯一实数λ，使得且与同过始点A,，则A,B,C三点共直线。ACBO在此基础上，我们提出下面两个问题：问题1：已知A,B,C共直线l,O为直线外一点，且。求证：证明：∵A,B,C三点共线l,且∴则问题2：已知A,B,C共直线l,O为直线l外一点，且有（λ和μ为实数）。求证：λ+μ=1证明：∵A,B,C三点共线l，则则∴令μ=1-λ则则λ+μ=1通过以上两个互逆命题的得证，我们完全可以得出以下定理：定理：在平
2、面内，A,B,C共线的充要条件是：(O为平面上任意一点)，其中λ+μ=1。特殊地，当B为AC中点时，利用以上定理，能比较方便的解决很多有关向量的计算、证明问题。二.定理在解题中的应用BAEDC例1.（2013江苏）设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点，若则λ1+λ2=.高考解析是这样解的：由题意作如下图形：解法一：∵在△ABC中-5-故还可以这样来求解：解法二：∵A为直线BC外一点，故设由已知故从解法二可以看出，还可以将条件推广为点E为直线BC上任意一点，所求结果仍然不变。证明如下：证明：∵点E为直线BC上任意一点，故设又，且,∴EODBAC例2：如图，已知△
3、OAB中,点C是以A为中心的点B的对称点，D是将分成2:1的一个分点，DC和OA交于点E,设（1）用和表示向量（2）若求实数λ的值。解：（1）由已知点A为BC的中点，则故（2）∵D,E,C三点共线，故设，由（1）则-5-解得∴λ=MBADCOFE例3（2007长沙，2010山东滕州）如图，在△OAB中,,AD与BC交于点M，设(1)用表示(2)已知在线段AC上取一点E，在线段BDA上取一点F,使EF过M点，设.求证：解：（1）由A,M,D三点共线，可设,又,，同理，由C,M,B三点共线，∴∴∴（2）由E,M,F三点共线，设,由已知则PAOGBCQ由（1）∴∴例4：如
4、图，△ABC中，G为它的重心，PQ的中心为G点，，则。解：∵Q,G,P三点共线，故设由已知，,又由三角形重心的性质:-5-故∴∴例5．（江西五校:师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中联考）已知平面向量满足，且与的夹角为1200，，则的最小值是________________．这道题若象下面的解法化为函数来解，则很麻烦：解法一：由已知，且与的夹角为1200，=令则上式=x2-2x+4=(x-1)2+3∴的最小值为3，故的最小值为.如果利用向量减法的几何意义，画出如下图形-5-ACOC1B解法二：把与的始点移到同一点O,则,由已知∠DAB=1200，则∠OA
5、B=600,注意到所求向量与的系数和为1，故对应的向量始点为O，终点C必在直线AB上移动，由向量膜的几何意义，当点C落在点C1时的膜最小即线段OC1的长。在Rt△OAC1中，,∠OAB=600,∴∣OC1∣=.故的最小值为.例6（2014天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=1200,点E,F分别在边BC、DC上，BE=λBC,DF=µDC,（）ABCD试题分析：此类向量的问题，若从定义角度或几何的角度出发，对考生的思维层次要求较高，此时可以借助建立直角坐标系的方法，降低问题的难度，通过建立适当的直角坐标系，将向量的数量积坐标化即可。解法一：建立如图所示的直角
6、坐标系，故A（0,1），B，C（0，-1），D,故-5-OEBAxFCDy∵故,同理∵故故依题意，解得，故，故选C.BADFCE但是，如果没有想到坐标法，就可以用以下方法解答。解法二：由即B,E,C三点共线，可设同理，可设又∵代入上式化简可得：①又由又则②联立①②可得：.由此看来，在我们平时的教学、学习过程中，只要善于分析和研究教材，善于归纳总结，定能探究出对我们有用的一些结论和方法，为提高我们的解题能力，为赢得高考一定很有帮助。参考文献：1.人民教育出版社人教A版《必修4》-5-
