课程名称复变函数论课程代码02011（理论）

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1、课程名称：复变函数论课程代码：02011（理论）第一部分课程性质与目标一、课程性质与特点《复变函数论》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程，是数学分析的后续课程。本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数。复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。复变函数论不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也非常类似。复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。早在19世纪，Cauchy、Weierstrass及Riemann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。复变函数论作为一

2、种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。复变函数论作为一门学科，有其自身的特点，有其特有的研究方法。在学习过程中，应注意将所学的知识融会贯通，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它自身所固有的理论和方法。二、课程目标与基本要求（1）本课程的教学目标是使学生对复变函数的一些基本概念、基本理论、基本方法有较深刻的认识和理解，培养学生用复变函数理论和方法思考和解决实际问题的能力。（2）本课程要求自学者在学习过程中牢记并理解复变函数

3、基本概念，掌握解析函数的特性及判定函数解析的充要条件，掌握柯西积分定理和柯西积分公式，掌握解析函数的幂级数表示法，掌握解析函数的洛朗展式与孤立奇点的性质，掌握利用留数计算积分的方法，理解解析函数所构成的变换的某些重要特性，掌握分式线性变换的映射性质。（3）自学应考者应坚持做好课后练习，同时在整个自学过程中，都要按计划选作一定数量的课外习题。适量的练习对掌握好本课程的基本理论和方法非常重要。三、与本专业其他课程的关系一方面本课程以数学分析为基础，是数学分析的后续课程，另一方面，复变函数理论深入地渗透到代数学、实分析、泛函分析、解析数论、微分方

4、程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支，为其提供必要的基础知识。第二部分考核内容与考核目标第一章复数与复变函数一、学习目的与要求本章教学目的是使学生掌握好复数和复变函数的基本概念及复变函数的极限与连续性。要求学生理解复数、区域、单连通区域、多连通区域、约当曲线、光滑（逐段光滑）曲线、无穷远点、扩充复平面等概念；理解复数的性质，掌握复数的运算，理解复数的模和辐角的性质；理解并掌握复变函数的极限与连续性的概念与性质。二、考核知识点与考核目标（一）本章重点是复变函数的概念，复变函数的极限与连续性识记：复变函数的定义，复变函数极限与连续的定义理解

5、：复变函数极限的性质，连续函数的性质应用：极限的计算与证明，连续性的判断与证明，极限与连续性质的应用（二）本章的次重点复数的基本概念识记：复数，复平面，复数的模与辐角，复数的乘幂与方根，共轭复数等概念理解：复数的三种表示形式：代数形式、三角形式和指数形式，辐角的计算应用：复数在几何上的应用（三）本章的一般内容是复平面上的点集识记：平面点集的几个基本概念理解：区域与约当曲线，可求长曲线，光滑曲线应用：掌握用复数表示区域和曲线第二章解析函数一、学习目的与要求解析函数是本课程的主要研究对象，本章教学的目的是使学生理解解析函数的概念和判定函数解析的

6、充要条件，掌握简单的初等多值函数理论，为后面学习解析函数的其他性质奠定基础。要求学生正确理解函数解析的含义，掌握解析函数的性质及判别解析函数的方法，掌握初等解析函数的定义、性质及部分多值解析函数的单值解析分支。二、考核知识点与考核目标（一）本章重点是函数可导与解析的定义，利用柯西-黎曼条件判别解析函数的方法识记：函数在一点可导的定义，函数在一点解析的定义，函数在区域内解析的定义理解：柯西-黎曼条件与可导、解析的关系应用：利用柯西-黎曼条件判别函数可导与解析（二）本章的次重点是初等解析函数的定义、性质识记：初等解析函数的定义理解：初等解析函数

7、的性质应用：初等解析函数的计算、证明，基本初等函数的映射性质（三）本章的一般内容是初等多值函数识记：初等多值解析函数的定义理解：单叶性区域、支点及支割线、连续单值分支及解析单值分支应用：正确分出初等多值函数的单值解析分支，由已给单值解析分支的初值计算终值，幂函数与对数函数的单值解析分支的映射特性第三章复变函数的积分一、学习目的与要求复积分是研究解析函数的一个重要工具。本章教学目的是使学生熟练掌握柯西积分定理和柯西积分公式。要求理解复积分的概念、性质，掌握复积分的计算方法；理解柯西积分定理，熟练掌握利用柯西积分定理计算函数沿闭曲线的积分；理解

8、柯西积分定理的推广；理解柯西积分公式、高阶导数公式，熟练掌握利用柯西积分公式、高阶导数公式计算函数沿闭曲线的积分；了解解析函数的无穷可微性；了解柯西不等式与刘维尔定理，掌握其证明