振动和波习题课

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1、振动和波习题课壹内容提要10一.振动1.简谐振动的定义：恢复力F=-kx微分方程d2x/dt2+w2x=0运动方程x=Acos(wt+j0)弹簧振子w=(k/m)1/2，单摆w=(g/l)1/2，复摆w=(mgh/J)1/2；2.描述谐振动的物理量：(1)固有量：固有频率w，周期T，频率ν其关系为w=2p/T=2pνν=1/T(2)非固有量，振幅AA=(x02+v02/w2)1/2位相jj=wt+j0初位相j0tanj0=-v0/(wx0)(再结合另一三角函数定出j0)；3.旋转矢量法(略)；4.谐振动能量：Ek=Esin2(wt+j0)E

2、p=Ecos2(wt+j0)E=Ek+Ep5.谐振动的合成：(1)同方向同频率两谐振动的合成A=[A12+A22+2A1A2cos(j20-j10)]1/2tgj0=(A1sinj10+A2sinj20)/(A1cosj10+A2cosj20)(再结合另一三角函数定出j0)拍Dw<

3、ν2-ν1

4、(2)相互垂直振动的合成w1与w2成简单整数比时成李萨如图形w1=w2时为椭圆方程：x2/A12+y2/A22-2(x/A1)(y/A2)cos(j20-j10)=sin2(j20-j10)二.波动1.机械波的产生必须有波源及媒质，机

5、械波的传播实质是相位(或振动状态)的传播；2.描述波的物理量：波长l，频率ν，周期T，波速u其关系为T=1/ν=l/uu=l/T=lν3.平面简谐波的波动方程y=Acos(wt-x/u+j0)=Acos[2p(t/T-x/l)+j0]=Acos[(2p/l)(x-ut)-j0]；4.平均能量密度=rA2w2/2，能流密度(波的强度)I=u=rA2w2u/25.惠更斯原理(略)；6.波的叠加原理：独立性，叠加性；7.波的干涉(1)相干条件：频率相同，振动方向相同，位相差恒定。(2)相干加强与减弱的条件：加强Dj=2kp减弱Dj=(2k+1)p

6、其中Dj=j20-j10-2p(r2-r1)/l(3)驻波：波幅处振幅最大，波节处振幅最小，相邻波节(或波幅)之间的距离为l/2；8.半波损失：波从波疏媒质(ru较小)向波密媒质(ru较大)传播，在界面上反射时，反射波中产生半波损失，其实质是位相突变p；9.多普勒效应：只考虑波源和观察者在同一直线上运动时的频率变化公式波源运动等效波长改变νR=νSu/(u-vS)观察者运动相当于波速变化νR=νS(u+vR)/u(相互接近vRvS取正)1010贰练习十六至练习二十一答案及简短解答1010练习十六谐振动一.选择题CADBB二.填空题1.4p/

7、3,4.5cm/s2,x=2cos(3t/2－p/2).1.0.2rad/s,-0.02sin(0.2t+0.5)(SI),0.02rad/s.3.BC,B,+p/4.三.计算题1.(1)v=dx/dt=－3.0sin(5t－p/2)(SI)所以v0=3.0m/s(2)F=ma=－mw2Acos(5t－p/2)=－mw2x当x=A/2时F=－1.5N2．弹簧振子的圆频率w=[k/(M+m)]1/2子弹射入木块时动量守恒，有-mv0=(M+m)vv=-mv0/(M+m)即[dx/dt]x=0=-Awsinj0=-mv0/(M+m)知sinj0

8、＞0即j0在一、二象限.因t=0时x0=Acosj0=0得j0=±p/2所以A=[mv0/(M+m)]/w=mv0/[k(M+m)]1/2j0=p/2故系统的振动方程x={mv0/[k(M+m)]1/2}cos{[k/(M+m)]1/2t+p/2}练习十七谐振动能量谐振动合成一.选择题BECDC二.填空题1.x2=0.02cos(4pt－2p/3)(SI).2.2p2mA2/T2.3.5.5Hz，1.三.计算题1.(1)平衡时,重力矩与弹力矩等值反向,设此时弹簧伸长为Dx0,有mgl/2－kDx0l¢=mgl/2－kDx0l/=0设某时刻杆

9、转过角度为q,因角度小,弹簧再伸长近似为ql¢=ql/,杆受弹力矩为Mk=－l¢Fk=－(l/)[(Dx0+ql/)k]=－k(Dx0l/+ql2/3)合力矩为MG+Mk=mgl/2－k(Dx0l/+ql2/3)=－kql2/3依转动定律,有－kql2/3=Ja=(ml2/3)d2q/dt2d2q/dt2+(k/m)q=0即杆作简谐振动.(2)w=T=2p(3)t=0时,q=q0,dq/dtêt=0=0,得振幅qA=q0,初位相j0=0,故杆的振动表达式为q=q0cos(t)2.因A1=4×10－2m,A2=3×10－2mj20=p/4,j

10、10=p/2,有A=[A12+A22+2A1A2cos(j20-j10)]1/2=6.48´10－2mtgj0=(A1sinj10+A2sinj20)/(A1cosj10+A2c