初等数学知识

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1、初等数学知识教学内容教学要求思考题数学家——毕达哥拉斯初等数学知识大致说来，数学可分为初等数学与高等数学两大部分。初等数学主要包括两部分：几何学与代数学。几何学是研究空间形式的学科，而代数学则是研究数量关系的学科。初等数学基本上是常量的数学。高等数学含有非常丰富的内容，它主要包含：解析几何：用代数方法研究几何问题；线性代数：研究如何解线性方程组及有关的问题；高等代数：研究方程式的求根问题；微积分：研究变速运动及曲边形的求面积问题；作为微积分的延伸，物理类各系还要讲授微分方程与偏微分方程；概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行推理；所有

2、这些学科构成高等数学的基本部分，在此基础上，建立了高等数学的宏伟大厦。我们这门课程要讲的就是高等数学的重要分支——微积分。微积分是17世纪后期出现的一个崭新的数学学科，它在数学中占据着主导地位，是高等数学的基础。它包括微分学和积分学两大部分。微积分学的诞生标志着高等数学的开始，这是数学发展史上的一次伟大转折.高等数学的研究对象、研究方法都与初等数学表现出重大差异.初等数学应当为高等数学做哪些准备？（1）发展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算的转变.符号是一种更为简洁的语言，没有国界，全世界共享，并且这种语言具有运算能力；（2）培养

3、严密的逻辑思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变；（3）培养抽象思维的能力，实现从具体数学到概念化数学的转变；（4）发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变.微积分研究的对象是变量，它的基础是实数，因此我们这一讲要回顾一下初等数学知识中与实数密切相关的几个概念。教学内容1．第一次数学危机2．实数、数轴与绝对值1．区间与邻域教学要求1．了解第一次数学危机2．理解实数、数轴、绝对值的概念3．理解区间、邻域的概念1．第一次数学危机人们对数的认识来源于自然数。自然数是数东西时“实物个数”的表示，从1开始，依次为1，2，3，4，…，，…，其中

4、表示任意一个自然数。之后记帐中，为了表示收入和支出，引入正数和负数；在表明商品价格、测量物体长度和重量时，又引入小数或分数。显然，社会生产发展的需要推动了数学的发展，但是这些推动是通过数学自身矛盾的发展而实现的。人们注意到，在对自然数进行加法和乘法的运算时，得到的结果仍然是自然数，例如3和7相加及相乘的结果为10和21，它们仍然是自然数，这说明，加法和乘法在自然数几何中是畅行无阻的，我们称之为自然数集对加法和乘法是封闭的。但是，两个自然数的差就不一定是自然数了，例如，3减7就不再是自然数了。为了使运算永远可能，扩充自然数集：每个自然数与负号

5、“－”结合在一起，产生一个负整数，再补充一个新符号“0”，这样，我们就得到一个整数的集合：…、－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，…在整数集合中，加法、减法与乘法的运算也畅行无阻，因而整数集合对加法、减法和乘法是封闭的。但是两个整数相除就可能不再是整数，这就引出了有理数的概念。所有形如的数的集合称为有理数，其中都是整数，且。有理数集中含有全体整数与通常的分数。每个有理数有无穷多个表示方法。在全体有理数的集合中，加、减、乘、除都可以畅行无阻（当然，0不能作除数），因而有理数对四则运算是封闭的。有理数很重要，是人们实际中使用的数，是测量

6、长度、面积、体积、温度等各种量的工具。当把测量的刻度逐渐加细时，有理点密密麻麻到处都有，这是一个基本事实，称之为有理数的稠密性。所谓有理数的稠密性，是指在任何两个不等的有理数之间总能找到介于这两个有理数之间的有理数。在古代的数学家看来，与有理数对应的点充满了数轴，即使是现在，尚未了解数轴性质的人也会这样认为。因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在当时人们的心理上引起了极大的震惊，这个发现是早期希腊认得重大成就之一。它在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。这是数学史上的一个里程碑。毕达哥拉斯学派发

7、现，没有任何有理数与数轴上的这样一点对应（如图）：距离的长度，它等于边长为1的正方向的对角线长。后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应任何有理数。因此必须发明一些新的数，使之与这样的点对应；因为这些点不能是有理数，所以把它们称为无理数。根据勾股定理，边长为1的正方形的对角线其长度为，为了证明点不能由一个有理数表示，只须证明是无理数即可，即不能表示成为两个正数之比的形式。这个结论用反证法可以得证。在推理过程中，使用了“2是素数”的性质。同样的推理可以证明任何素数的平方根都是无理数。如等都是无理数。无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给

8、定的任何两个线段，必定能找到第三根线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。现在我们取一个正方形，设它的