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1、初等数学补充知识1・公约数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如：12的约数冇：1,2,3,4,6,12；18的约数有:1,2,3,6,9,18。12和18的公约数有：1,2,3,6.其中6是12和18的最大公约数，记作(12,18)=6o2•公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：12的倍数有：12,24,36,48,60,72,84,...18的倍数有:18,36,54,72,90,12和18的公倍数有：36,72,•…其中36是12和18的最小公倍
2、数，记作[12,18]=363、1既不是质数，也不是合数.这样，自然数在按约数个数分类，可以分成:质数、合数和1・偶数中只有2是质数，而且是所有质数中最小的一个.除2以外所有的偶数都是合数，除2以外所有的质数都是奇数.每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数.例如，因为70=2X5X7,所以2,5,7是70的质因数.把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数例如，60=2X2X3X5=22X3X5,把60这个合数用2X2X3X5^22X3X5的形式來表示，就是把60分解质因数.例1两个质数的积是46,求这两个质数的和.分析：两个质数的积是4
3、6,46是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2,因此很容易得出另外的质数，从而问题得以解决.解：因为46是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只冇2,另一质数464-2=23,所以2与23的和为25.例2用2,3,4,5中的三个数能组成哪些三位质数？分析：首先考虑个位数字是儿，如果个位数字是2或4,这样的三位数必能被2整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是5,这样的三位数必能被5整除，这样的三位数也不会是质数，所以个位数字只能是3,再由剩下的三个数字组成百位、十位，得岀个位数字是3的三位数为：243,423,253,523,453,5
4、43,最后根据质数的判断方法，得到所求的质数.解：如果组成的三位数的个位数字是2、4、5吋，这个数必能被2或5整除，因此个位数字只能是3,而个位数字是3的三位数有243,423,253,523,453,543,其中243,423,453,543均能被3整除，253能被11整除，所以只有523是质数.质数的判断方法是，当一个数比较小时，用定义直接判断，但这个数比较大时，通常采用杳质数表，最好记住100以内的所有质数.在没有质数表的情况下，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除如果能被其屮某一个质数整除，就说明这个数是合数，如果除到商已比试除的质数小，还不能被这些质数中的任何一个整除
5、，那么这个数一定是质数.例如，判断100以内的数是否是质数，只需用2、3、5、7这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数，否则不是质数.判断97是不是质数，因为97不能被2,3,5,7中的任何一个整除，因此97是质数.为什么不必去试除比97小的所冇的质数呢？因为97不能被2,3,5,7中的任何一个整除,它就一定不能被4,6,8,9,10等数（分别为2,3,5的倍数）整除，乂因为，如果用11或大于11的质数去试除，974-11=8-9,97^13=7-6,其商为8、7,比除数还小，都已试除过，因此判断100以内的数是否是质数只需用2,3,5,7去试除.判断200以
6、内的数是否是质数，只需用2,3,5,7,11,13,17这七个质数去试除；判断300以内的质数，只需用2到17这七个质数去试除；判断400以内的质数，只需用20以内的八个质数与去试除；判断500以内的质数，只需2到23的质数去试除.其余可用类似的方法推出，你可以思考一下1000以内的质数如何判断？例3将40,44,45,63,65,78,99,105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等.分析：如果采用观察、计算调整的方法是比较麻烦的.要使两组数的乘积相等，只有两组数中的质因数相同，而且质因数的个数也相同，就可以了，所以从这八个数分解质因数入手,根据各质因数的个数，进行适当
7、的搭配，便能找出问题的答案.解：将八个数分解成质因数：40=23X544=22X1145=32X563二3?X765=5X1378=2X3X1399=32X11105=3X5X7这八个数分解质因数后一共有6个2,8个3,4个5,2个7,2个11,2个13.因此,这八个数被分成两组示，每一纽应含有3个2,4个3,2个5,1个7,1个11,1个13,这样可以得到两组分别为：40,63,65,99和44,45,78,105.例4九个连续口然数中至多有四个质数，例如1至9中有2、3、5、7四个质数.
