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时间:2018-09-26
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1、柱面坐标变换容易得出,点的直角坐标与柱坐标之间的关系为:,,.下述三族曲面,称为柱面坐系中的坐标曲面:(¡)一族以轴为对称轴的圆柱面:(常数),即;(¡¡)一族通过轴的半平面:(常数),即;(¡¡¡)一族通过轴的半平面(常数),若用这三族坐标曲面把空间区域V分成若干个小区域,这样所得到的小区域中,有规则的小区域(如图9-38)的体积为,由平面极坐标变换知,,有,而,于是且,因此.这就是三重积分从直角坐标变换为柱面坐标的换元公式.柱面坐标系中的体积元素为.为了把上式右端化成累次积分,设平行于轴的直线与区域V的边界
2、最多只有两个交点,设V在平面上的投影区域为,把区域用表示,区域V关于平面的投影柱面将V的边界曲面分为上、下两面部分,其方程表示为是的函数,即上曲面:,下曲面:,,,于是.在这里可以看到,采用柱面坐标按上述公式计算三重积分,实际上是对采用直角坐标进行积分,而对另外两个变量采用平面极坐标进行积分.例5计算,其中是由及抛物面所围成(在抛物面内的那一部分)的立体区域(如图9-39).解法一按直角坐标系中的计算,由两曲面交线的方程为:图9-39这曲线在平面上的投影曲线方程为由此可知V在平面的投影区域为圆域.下曲面:,上曲
3、面:,有,于是.解法二经柱面坐标变换,由上曲面方程为,即.下曲面方程为,即.,于是.因此,利用柱面坐标变换时,首先求出V在平面上的投影区域,确定上、下曲面,然后用柱面坐标变换,把上、下曲面表示成的函数,投影区域用不等式来表示.若被积函数中含有,V在平面上的投影区域是圆域或部分时,可用柱面坐标变换若被积函数中含有,V在平面上的投影区域是圆域或部分时,可用柱面坐标变换,,,
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