柱面方程与柱面坐标

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1、§3柱面方程与柱面坐标一母线平行于坐标轴的柱面方程1定义：一动直线l在运动过程中，总是平行于一定方向V。，且总与一曲线c相交，则l的运动轨迹称为柱面，其中V。——柱面的方向，c——柱面的准线，l的任一位置——柱面的母线。2方程及特征：定理：在空间坐标系下，三元方程F（x,y,z）=0为一母线，平行于z轴的柱面的方程〈═〉该方程同解于一关于x,y的二元方程f（x,y）=0证：“═〉”设三元方程F（x,y,z）为一母线平行于z轴的柱面Σ的方程，则Σ与面的交线c：〈═〉其中f（x,y）≡F（x,y,0），可以证明M（x,y,z）∈Σ〈═〉M点的坐标满足f（x,y）=0，∴f（x,y）=0是Σ的

2、方程，从而F（x,y,z）=0与f（x,y）=0同解。“〈═”若F（x,y,z）=0同解于f（x,y）=0，记以c：为准线，母线平行于z轴的柱面为Σ，可以证明M（x,y,z）∈Σ〈═〉M的坐标满足f（x,y）=0∴f（x,y）=0表示柱面Σ，从而F（x,y,z）=0亦表示柱面Σ例：在直角坐标系下，圆柱面，双曲柱面，平面和抛物柱面的图形如下：(图2.4)(图2.5)(图2.6)(图2.7)二柱面坐标：1圆柱面的参数方程：设圆柱面Σ的中心轴重合于z轴，半径=R对P∈Σ，记P在x.y面上的投影为P′θ=∠（i，OP′），则r==+=Rcosθi+Rsinθj+uk————矢量式参数方程而0≦θ

3、<2π,∣u∣<——————坐标式参数方程2定义：空间中建立了直角坐标系之后，对M（x,y,z），设其到z轴的距离为ρ，则M落在以z轴为中心轴，以ρ为半径的圆柱面上，从而θ，u，使（*）反之，对给的ρ（ρ≥0），θ（0≦θ<2π），u（∣u∣<）,依据（*）式也可确定空间中一点M（x,y,z），称有序三数组ρ，θ，u为M点的柱面坐标，记作M（ρ，θ，u）注：1°空间中的点与其柱面坐标并非一一对应2°曲柱面坐标求直角坐标,利用(*)即可,而由直角坐标求柱面坐标,则需按下式进行.