巴斯噶和费尔马的通信

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1、巴斯噶与费尔马的通信巴斯噶与费尔马（P.deFermat,1601~1665）的名字，对学习过中学以上数学的人来说，谅必不陌生。巴斯噶三角，在我国成为杨辉三角，中学教科书中已有提及。至于费尔马，因其“费尔马大定理”（不存在整数和整数，使）于近年得到证明，名声更远播数学圈子之外。费尔马在数学上的名声主要因其数论方面的工作，其在概率史上占到一席地位，多少有些出乎偶然－由于他与巴斯噶在1654年7～10月间来往的7封信件，其中巴致费的有3封。这几封信全是讨论具体的赌博问题。与前人一样，他们用计算等可能的有利与不利情况数，作为计算“机遇数”即概率

2、的方法－他们没有使用概率这个名称。与前人相比，他们在方法的精细和复杂性方面大大前进了。他们广泛使用组合工具和递推公式，初等概率一些基本规律也都用上了。他们引进了赌博的值（Value）的概念，值等于赌注乘以获胜概率。3年后，惠更斯改“值”为“期望”（expectation），这就是概率论的最重要的概念之一－（数学）期望的形成和命名过程。前文指出：此概念在更早的作者中已酝酿了一段时间。这些通信中讨论的一个重要问题之一是分赌本问题，还讨论了更复杂的输光问题：甲、乙二人各有赌本a和b元（a、b为正整数），每局输赢1元，要计算各人输光的概率。这个问

3、题拿现在的标准看也有相当的难度。由此也可以看出这组通信达到的水平及其在概率论发展史上的重要性。有的学者，如丹麦概率学者哈尔德，认为巴、费二人在1654年的这些信件奠定了概率论的基础。这话有相当的道理，但也应指出，这些通信的内容是讨论具体问题，没有提炼出并明确陈述概率运算的原则性的东西。例如，他们视为当然地使用了概率加法和乘法定理。但未将其作为一般原则凸现出来。促使巴、费2人进行这段通信地，是一个叫德梅尔的人，他曾向巴斯噶请教几个有关赌博的问题。1564年7月29日巴斯噶首先给费尔马写信，转达了这些问题之一，请费尔马解决。所提问题并不难，不

4、知何以巴斯噶未亲自回答：将两个骰子掷24次，至少掷出一个“双6”的机遇小于（其值为）。但从另一方面看，投两个骰子只有36种（等）可能结果，而24占了36的，这似乎矛盾，如何解释。现今学过初等概率论的读者，都必能毫无困难地回答这个问题。巴、费通信中涉及地有关分赌本问题的解法，包含了一些在当日看很先进且直到现在仍广为使用的想法和技巧，值得一述。以和分别记为取得胜利，A、B尚须赢得的赌局数。巴斯噶认识到，注金的公正分配只应与和有关。因为若赌博继续下去，A（以及B）最终取胜的概率，只与和有关。记此概率为，则有边界条件：，当>0;，当>0;，（1）

5、且成立递推公式（2）巴斯噶在此用了全概率公式，即考虑若再赌一局，有“A胜”、“B胜”两种可能。巴斯噶由（1）、（2）出发，依次算出对其进行观察，他综合出一般的形式：（3）为了证明，先验证（3）适合边界条件（1），这不难。巴斯噶用归纳法证明（3）适合（2），也很容易，读者可以一试。费尔马的解法有所不同。不妨设。为A最终获胜，所再赌的局数可能为（完备事件群），期间B取胜的局数。若B胜i局，则到A最终取胜止再赌了局，其中前局中A胜局，而第局为A胜。这事件的概率为。在得出之一结果时已用到了二项式定理及概率乘法定理。对相加，得。这里隐含了使用概率加

6、法定理。由以上可以看出，巴、费二人在当时已了解并使用了我们现今初等概率计算中的主要工具。