数学模拟试卷

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1、数学模拟试卷参考答案详解一、选择题（1～10小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（1）B【详解】所以选B．【重点提示】要善于利用等价无穷小的替换，如当时，，等都是等价无穷小，也是比较常用的等价无穷小．（2）D【详解】=，积分收敛，=，积分发散.【重点提示】直接计算相应积分，判定其敛散性即可。广义积分敛散性的判断，一般只要求掌握通过计算能判定的情形。（3）B【详解】把两边对求导，有，再求导，有a再把两边对求导，有b由a与b得10【重点提示】本题的重

2、难点是对多元函数求偏导，计算时要仔细，要注意当具有连续二阶偏导数时，。（4）A【详解】在区域上，有，从而有由于在上为单调减函数，于是因此，故应选(A)．【重点提示】本题比较二重积分大小，本质上涉及到用重积分的不等式性质和函数的单调性进行分析讨论，关键在于比较、与在区域上的大小．（5）A【详解】因为可微，所以连续，则，因为，所以　　　所以是的极小值【重点提示】注意当时，是的驻点，此时，若，则在处取得极小值，反之则在处取得极大值．若，则不是极值点．10（6）A【详解】设，是连续函数，所以可导，且．若为奇函数，则，此时为偶函数．【

3、重点提示】直接利用定义求出原函数，本题也可通过举反例来一一排除，如等．（7）A【详解】：把两边同时转置，得，则与互为逆矩阵，则．【重点提示】本题属于基本题型，直接利用概率基本公式求解即可．（8）A【详解】初等行变换不改变矩阵的列向量之间的线性关系，对于变换后的矩阵，显然有，所以．【重点提示】初等行变换不改变矩阵的列向量之间的线性关系，初等列变换不改变矩阵的行向量之间的线性关系，这是矩阵变换的基本性质．（9）B【详解】由题设，知，又事件与相互独立，于是有【重点提示】首先所有概率求和为1，可得,其次，利用事件的独立性又可得相关等

4、式．由此可确定a,b的取值．即=，由此可解得=0.4,b=0.1．（10）C【详解】因为不相关，所以相关系数，从而，，．【重点提示】注意不论如何都得不到，这个等式绝对不成立．10二、填空题（11～16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）（11）【详解】【重点提示】本题属于基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可，若在某变化过程下，，则如当时，，等都是等价无穷小．（12）【重点提示】直接积分即可.本题虽属于基本题型，也可先变形，再积分求解．【详解】原方程可化为，积分得，代入初始条件得C=2，故所求特解为（

5、13）【详解】原方程可写为．令，则，代入原方程，得，分离变量得．两边积分得：即（其中C为任意常数）．【重点提示】这是微分方程中比较常见的题型，是齐次方程与可分离变量方程的复合形式，解分离变量方程的方法必须掌握．（14）10【详解】由题设，有,得，但题设，故【重点提示】４个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定．当向量的个数小于维数时，一般通过初等变换化阶梯形讨论其线性相关性．（15）0【详解】，解得：又因为A可对角化，所以A的属于特征值的线性无关的特征向量有2个，即有非零解．所以，而，所以．【重点提示】容易先求

6、出A的特征值，然后根据可对角化方阵的性质，得到的秩不是满秩，再通过行列式为0来求解的值．（16）【详解】因为，所以与相互独立，又，则，所以．【重点提示】如果，所以与相互独立，这是判断独立的一种方法。相互独立的正态变量的线性运算仍是正态变量，要注意运算后的正态变量的数学特征的变化．三、解答题（17~24小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（17）【详解】由已知条件可得，10，，，所以==【重点提示】先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可，但在求偏导数的过程中应注意计算的准确性．（18）【证明】(I)设，则

7、在上连续，且，，由介值定理可知存在，使，即．(II)设，则在上连续，在内可导，且又由罗尔定理可知，存在，使得即．【重点提示】先构造函数，再根据连续与可导的性质，利用中值定理证明问题，其中关键在于构造函数，这就需要经验，要掌握一些比较常见的函数的构造．（19）【详解】（I）由题意可知总利润函数，令，解得。10又产量和不受限制，所以计算表明当时可获得最大利润，且最大利润为，即为所求．（II）由题意得．此时可引入拉格朗日函数，令，解得，。所以当时可获得最大利润，且最大利润为，【重点提示】先求出总利润函数，再通过导数为0来求极值，求

8、出最大利润。在第（II）问中，由于总产量固定为30不变，故通过构造拉格朗日函数来求极值．（20）【证明】设，则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且，由于时，，因此，即F(x)在[0，1]上单调递减．又，=，所以F(1)=0.因此时，，由此可得对任何，有【重点提示】可用参数变易法转化为函数