考研数学模拟试卷

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1、考研数学模拟试卷一、选择题（1～10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（1）设，则当时，是的（）（A）等阶无穷小　　　　（B）同阶但不等价的无穷小（C）高阶无穷小　　　　（D）低阶无穷小（2）下列结论中正确的是（）(A)与都收敛.（B）与都发散.(C)发散，收敛.(D)收敛，发散.（3）设函数具有连续二阶偏导数，且满足条件及，，则（）（A）（B）（C）（D）（4）设,,,其中，则（）(A).　　　　（B）.(C).　　　　(D).（5）设可微函数满足，，则

2、（）（A）是的极小值（B）是的极大值（C）是曲线的拐点（D）不是的极值，也不是曲线的拐点（6）设是连续函数，是的原函数，则（）（A）当是奇函数时，必为偶函数；（B）当是偶函数时，必为奇函数；（C）当是周期函数时，必为周期函数；（D）当是单调增函数时，必为单调增函数．（7）设均为n阶方阵，且满足，其中为n阶单位矩阵，则（）（A）（B）（C）　（D）（8）已知矩阵经初等行变换，化为，则必有（）（A）　（B）（C）（D）线性无关（9）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为XY0100.41b0.1已知随机事件与相互独立，则（）(A)=0.2,b

3、=0.3　　(B)=0.4,b=0.1(C)=0.3,b=0.2(D)=0.1,b=0.4（10）设随机变量不相关，则下述选项不正确的是（）（A）　（B）（C）（D）二、填空题（11～16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）（11）．（12）微分方程满足初始条件的特解为．（13）微分方程的通解为．（14）设行向量组，，，线性相关，且，则=．（15）设矩阵相似于对角矩阵，则．（16）设二维正态变量的边缘分布为，且，则．三、解答题（17~24小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（17）（本题满分8分）设

4、具有二阶连续导数，且，求（18）（本题满分9分）设函数在区间上连续，在内可导，且，．试证：(I)存在，使；(II)对任意实数，必存在，使得．（19）（本题满分9分）某厂生产两种产品，总收入与两种产品的产量和的函数关系是总成本与产量和的函数关系是（I）在产量和不受限制的情况下，该厂应如何确定两种产品的产量，才可获得最大的利润？最大利润是多少？（II）若限于原料供应情况，要求两种产品的总产量固定为30不变时，又应如何安排生产，才可获得最大的利润？这时的最大利润是多少？（20）（本题满分8分）设，在[0，1]上的导数连续，且，,．证明：对任何

5、a,有（21）（本题满分13分）线性方程组（i）与（ii）有公共的非零解，求的值和全部公共解．（22）（本题满分13分）设A为三阶矩阵，是线性无关的三维列向量，且满足，，.(I)求矩阵B,使得；（II）求矩阵A的特征值；（III）求可逆矩阵P,使得为对角矩阵．（23）（本题满分13分）设，相互独立，服从区间上的均匀分布，服从参数为的指数分布，求的概率密度函数．（24）（本题满分13分）某公司新近生产了某种电子元件5套，其中甲等品3套．现有宏达与茂源两家企业先后来购买这种元件，宏达购买1套，源茂购买2套，设，分别表示宏达和源茂购买到的甲等

6、品套数．求：(I)与的联合分布律；(II)与的相关系数．数学模拟试卷参考答案详解一、选择题（1～10小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（1）B【详解】所以选B．【重点提示】要善于利用等价无穷小的替换，如当时，，等都是等价无穷小，也是比较常用的等价无穷小．（2）D【详解】=，积分收敛，=，积分发散.【重点提示】直接计算相应积分，判定其敛散性即可。广义积分敛散性的判断，一般只要求掌握通过计算能判定的情形。（3）B【详解】把两边对求导，有，再求导，有a再把两边对

7、求导，有b由a与b得【重点提示】本题的重难点是对多元函数求偏导，计算时要仔细，要注意当具有连续二阶偏导数时，。（4）A【详解】在区域上，有，从而有由于在上为单调减函数，于是因此，故应选(A)．【重点提示】本题比较二重积分大小，本质上涉及到用重积分的不等式性质和函数的单调性进行分析讨论，关键在于比较、与在区域上的大小．（5）A【详解】因为可微，所以连续，则，因为，所以　　　所以是的极小值【重点提示】注意当时，是的驻点，此时，若，则在处取得极小值，反之则在处取得极大值．若，则不是极值点．（6）A【详解】设，是连续函数，所以可导，且．若为奇函

8、数，则，此时为偶函数．【重点提示】直接利用定义求出原函数，本题也可通过举反例来一一排除，如等．（7）A【详解】：把两边同时转置，得，则与互为逆矩阵，则．【重点提示】本题属于基本题型，直接利用概率基本公式求解