西北师范大学数学和应用数学专业

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1、西北师范大学数学与应用数学专业专业必修课程教学大纲近世代数一、说明（一）课程性质该课程是数学与应用数学专业基础数学方向的专业限选课程之一。（二）教学目的通过近世代数的学习，使学生掌握运用算律描写代数运算以及从算律出发推导其它性质的能力；学会把这种能力熟练地运用于中等及高等学校数学课程所涉及的一些最重要的代数系统，深刻领会这些代数系统的本质特征及它们之间的联系；由此来统帅中学代数教材中的代数部分。（三）教学内容近世代数主要讲述群、环、域等代数系统的结构和主要性质。（四）教学时数54学时。（五）教学方式课堂讲授。二、本文第一章基本概念教学要点：要让学生掌握一些基本概念：代数运算、结合律、交换律、分

2、配律、同态与同构、等价关系与集合分类的定义；理解结合律、交换律、分配律的作用以及同态满射保持结合律、交换律、分配律这些数学事实；熟练应用等价关系与集合分类可以相互决定这一结论。教学时数：8学时。教学内容：第一节代数运算与算律（4学时）主要讲授代数运算的定义及例子，结合律及其性质，交换律及其性质，分配律及其性质等。第二节同态与同构（2学时）主要介绍两个带有代数运算的集合之间的保持代数运算的映射、满射及双射以及它们各自的性质。第三节等价关系与集合分类（2学时）主要介绍等价关系与集合分类这两个概念以及等价关系与集合分类这二者之间的关系。考核要求：要让学生识记代数运算、结合律、交换律、分配律、同态与同

3、构、等价关系与集合分类的定义；领会结合律、交换律、分配律的作用；领会同态满射保持结合律、交换律、分配律，等价关系与集合分类可以相互决定这些数学事实。第二章群论教学要点：要让学生掌握有关群的一些基本概念：群、变换群、置换群、循环群、子群、陪集、不变子群、商群；判断群、子群、不变子群、商群的方法；理解群论的一些重要结论：Cayley定理、Lagrange定理、群的同态基本定理。教学时数：18学时。教学内容：第一节群的定义与基本性质（4学时）介绍群的两种定义的等价性。对有限群给出第三种定义。介绍群的消去律、以及群中的元的阶的性质。介绍群的同态。第二节变换群（2学时）介绍变换的概念；给出变换群的定义；

4、介绍一个集合的最大变换群、最小变换群；介绍Cayley定理。第三节置换群（2学时）介绍n次对称群Sn的概念；介绍Sn中的每个置换都可以表成互相没有共同数字的循环置换的乘积这一重要结论。第四节循环群（2学时）介绍循环群及其生成元的概念；介绍与循环群的存在问题、数量问题、结构问题有关的结论。第五节子群（2学时）介绍子群的定义以及判断方法、群的子集生成的子群的特点。第六节子群的陪集（2学时）定义左同余关系以及右同余关系；确定这两个同余关系的等价类，得出一个群G的子群H在G中的左、右陪集的数目相等这一重要结论。介绍Lagrange定理。第七节不变子群、商群（2学时）介绍不变子群的定义，给出判断一个子群

5、是不变子群的方法。介绍商群。第八节同态与不变子群（2学时）介绍子群、不变子群与群的同态之间的关系。考核要求：学生必须识记并领会有关群的一些基本概念；会利用所学知识判断群、子群、不变子群、商群；学生必须有严格的思维能力以及逻辑推理能力；可以综合应用所学的知识去解决简单群论问题,例如较小阶群的分类问题等。第三章环与域教学要点：要让学生掌握有关环与域的一些基本概念：环、交换环、有单位元环、无零因子环、整环、除环、域、子环、子除环、子整环、子域、环的同态、理想、零理想、单位理想、主理想、环中多个元生成的理想、剩余类环、极大理想；理解环论的一些重要结论：不定元存在定理、环的同态基本定理、剩余类环是域的充

6、要条件等。教学时数：16学时。教学内容：第一节定义与基本性质（4学时）介绍加群、环、交换环、有单位元环、无零因子环、整环、除环、域等基本概念；无零因子环中环的消去律才成立；介绍无零因子环的特征的概念；介绍无零因子环的特征是有限数时，特征是素数这一结论。第二节子环、环的同态（2学时）介绍子环、子除环、子整环、子域、环的同态等概念；探讨与环的同态有关的环的性质；介绍挖补定理。第三节多项式环（2学时）介绍含单位元的交换环R上的多项式、R上的多项式环以及R上的未定元等概念；给出R上的未定元是存在的这一重要结论。第四节理想（2学时）介绍环的理想、零理想、单位理想、主理想、环中多个元生成的理想等概念；介绍

7、环的主理想中的元素的特点；给出除环只有零理想和单位理想这一重要结论。第五节剩余类环、同态与理想（2学时）类比于群论中的商群，在环论中有商环（也叫剩余类环）。给出商环的概念之后，介绍环的同态基本定理；介绍子环、理想与环的同态之间的关系。第六节极大理想（2学时）给出极大理想的定义；介绍判断一个理想是极大理想的方法，探讨如何利用极大理想去构造域。第七节商域（2学时）类比于整数环与有理数域之间的关系，介绍