西北师范大学数学与应用数学专业

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1、西北师范大学数学与应用数学专业专业基础课程教学大纲高等代数II一、说明（一）课程性质高等代数II是高等代数I内容的深入和继续，其主要内容包括向量空间、线性方程组、线性变换和欧氏空间等。这些理论十分重要，被广泛应用于最优化，决策理论，成为现代数学必不可少的基础理论之一。在这些理论的产生和发展过程中多体现的数学思维方法，将为提高学生发现和解决问题的能力，产生重要而深远的影响。（二）教学目的通过高等代数II的学习，使学生逐步理解和掌握向量空间、线性方程组、线性变换和欧氏空间的基本概念和方法，进一步加深对从特殊到

2、一般，从具体到抽象的思想方法的理解。对向量空间、线性方程组、线性变换和欧氏空间理论，在教学中不但要重视对学生计算能力的培养，而且要让学生理解这些概念产生的背景和其中所体现的数学思想，由点到面，从部分到整体，切实提高学生的综合数学素质。（三）教学内容高等代数课程的主要内容有：向量空间、线性方程组、线性变换和欧氏空间。（四）教学时数90学时。（五）教学方式课堂讲授。二、本文第五章向量空间教学要点：向量空间的定义；向量的线性相关性；基，维数，坐标；子空间；向量空间的同构。教学时数：20学时。教学内容：第一节向量

3、空间的定义（4学时）本节首先从例子出发，抽象出它们的共性，从而得到向量空间的概念，再介绍向量空间的性质及其在数学中的重要性。第二节向量的线性相关性（4学时）讲解向量的线性相关和线性无关的定义和几条简单的性质，介绍向量组的极大无关组的定义和求法，并介绍极大无关组的理论意义，从而进一步加深学生对问题抓住本质的数学思想的理解。第三节基、维数、坐标（6学时）本节介绍了数域上向量空间的基与维数、过渡矩阵的定义，研究了同一向量在不同基底下坐标之间的关系。第四节子空间（2学时）介绍了子空间的定义和性质以及一个向量空间的

4、非空子集构成向量子空间的充要条件，同时介绍了两个子空间和的维数与各自的维数之间的关系。第五节向量空间的同构（2学时）本节从映射的例子出发，得到两向量同构的定义以及同构映射的一些性质，并阐明同构的理论意义和体现的数学思想。全章内容总结及复习，答疑。（2学时）考核要求：理解和掌握向量的线性相关性和无关性的概念，熟练掌握向量维数的计算以及坐标和过渡矩阵之间的关系。子空间和向量空间同构的定义和性质。第六章线性方程组教学要点：消元解法；其次线性方程组的解；一般线性方程组的解；秩与线性相关性；特征向量；矩阵的对角化。

5、教学时数：20学时。教学内容：第一节消元解法（2学时）本节通过消元法解线性方程组引出线性方程组的初等变换的概念，并与矩阵的初等变换的概念相联系，利用初等变换介绍了线性方程组是否有解的判别方法及求一个线性方程组的一般解的方法。第二节应用举例属于选学内容，学生自学，教师答疑，不在课堂讲授。第三节齐次线性方程组解的结构（4学时）本节讨论了齐次线性方程组解的结构，介绍了求解齐次线性方程组的一个基础解系的方法，将基础解系的理论意义和向量空间相联系。第四节一般线性方程组解的结构（2学时）本节介绍一般的线性方程组的求解

6、问题，因为齐次线性方程组的求解问题已经解决，所以我们将一般线性方程组的求解问题归结为齐次线性方程组的求解问题。由此也进一步让学生体会从特殊到一般的数学思想。第五节秩与线性相关性（4学时）本节用线性方程组的理论去研究矩阵的秩、行列式、向量组的线性相关性等概念之间的关系。第六节特征向量与矩阵的对角化（6学时）本节首先利用线性方程组的理论解决特征向量的求法问题，然后研究一个数域F上n阶矩阵什么时候能与一个对角形矩阵相似的问题。全章内容总结及复习，答疑。（2学时）考核要求：要使学生理解本章的这些基本概念，掌握基本

7、方法，深入领会从特殊到一般的数学思想在本章的运用。特别要掌握并熟记线性方程组解的求解方法、解的结构以及应用。第七章线性变换教学要点：线性变换；线性变换的矩阵；不变子空间；本征值；本征向量。教学时数：20学时。教学内容：第一节线性变换的定义及性质（2学时）通过具体的例子引出线性变换的定义，同时介绍了线性变换的一些性质。第二节线性变换的运算（4学时）本节主要介绍了线性变换的加法、乘法及数与线性变换的乘法运算，最后介绍了线性变换的多项式的概念。第三节线性变换的矩阵（4学时）有了线性变换的概念，我们讨论线性变换在

8、一个基下的矩阵，对向量的坐标和这个向量在线性变换下的坐标之间的联系以及同一线性变换在不同基下的矩阵的联系进行了研究。并介绍了可逆线性变换的等价条件。第四节不变子空间（4学时）介绍了不变子空间的定义，同时利用不变子空间的概念，来说明线性变换的矩阵的化简与线性变换的内在联系。第五节线性变换的本征值和本征向量（4学时）本节介绍本征值和本征向量的概念，它们对线性变换的研究具有基本的重要性，同时介绍了一个n阶矩阵什么时候与一个对角矩阵相