《利用轴对称变换求最小值》易错试题精选专练

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1、《利用轴对称变换求最小值》专题辅导及易错试题精选专练从“利用轴对称性质求最小值”问题入手，挖掘课本资源、注重多题一解、培养知识迁移能力，以此来抛砖引玉，希望同学们认真思考。（一）、课本原型：（七年级下册第196页）如图（1）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？解：如图（2）○1，只要画出A点关于直线L的对称点C，连结BC交直线L于P，则P点就是所求。这时PA+PB=PC+PB为最小，（因为两点之间线段最短）。（证明：如图（2）○2，在L上任取一点P1，连结P1A，P1B，P1C，因为P1A

2、+P1B=P1C+P1B>BC=PA+PB。这是根据三角形两边之和大于第三边，所以结论成立。）·A·A·A·B·B·B街道lP街道lP1P街道l图（1）''·A·A图（2）①图（2）②（二）应用和延伸：例1、（七年级作业本题）如图（3），∠AOB内有一点P，在OA和OB边上分别找出M、N，使ΔPMN的周长最小。解：如图（4），只要画出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连结P1、P2交OB、OA于M、N，此时ΔPMN的周长PM+PN+MN=P1P2为最小。（证明略）BB·P1M·P·POONAA图（3）·P2图（4）1（三）、迁移和拓展：例1、如图（5），在

3、菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上，EC=2a，∠BAD=1200,点P在BD上，则PE+PC的最小值是（）（A）6a,(B)5a,(C)4a,(D)23a。AAE1PPDBDBEECC图（5）图（6）例2、如图（7），在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（X，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标X=——————————。Y6P(5,5)Y56P(5,5)4543322(2,1)Q1(2,1)Q1-1O12M3456-1O123456XX-1-1Q1图（7）图（8）AQP10ORB图（10）

4、（四）、思考与练习：1、如图（10），∠AOB=450，角内有一点P，PO=10，在角两边上有两点Q、R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是————————。（提示：画点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，∵∠AOB=450，∴ΔP1OP22是等腰直角三角形，P1P2=102）。又问当ΔPQR周长最小时，∠QPR的度数=—————。（1000）。DCPjE图（14）AB6、如图（14），正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，求PE+PC的最小值。（与知识拓展例1类似，因为点C和点A关于直线BD对称，所以AE是PC+P

5、E的最小值，这个值为13）。ADOCP图（16）B8、（温州2001年中考题）如图（16），AB是☉O的直径，AB=2，OC是☉O的半径，⌒⌒⌒OC⊥AB，点D在AC上,AD=2CD，点P是半径OC上一个动点，那么AP+PD的最小值是————————。（只要找出点D关于半径OC的对称点D1，AD1的长就是AP+PD的最小值。因为ΔABD01是含有趣30角的直角三角形，所以这个值是3）。3