抛物线焦点和弦有关几个结论性质

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1、抛物线的焦点与弦有关的几个结论性质　　在抛物线与直线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质，这些性质常常是高考命题的切入点．　　不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点，准线l的方程：.　　过焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，又作AA1⊥l,BB1⊥l，垂足分别为A1、B1.　　AB⊥x轴时，,,此时弦AB叫抛物线的通径，它的长

2、AB

3、＝2p．　　AB与x轴不垂直也不平行时，设弦AB所在直线的斜率为k(k≠0)，则方程为(如图)

4、．　　由方程组消去y，得　　,或消去x,得.　　结论1：(定值)，,　　结论2：y1y2＝-p2(定值)，.　　结论3：弦长.　　结论4：若此焦点弦AB被焦点F分成m，n两部分，则为定值．　　事实上，若AB⊥x轴，则4　　m＝n＝p，.　　若AB与x轴不垂直，则.　　.　　结论5：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦中通径最小．　　证法1：设弦AB所在的直线方程为.　　由方程组消去x，得y2-2pmy-p2=0.　　∴y1+y2=2pm,　y1y2=-p2.　　　　当且仅当m＝0，即弦AB为抛物线的通径时，它的长度最

5、小且为2p．　　证法2：设过焦点F的弦AB所在直线的倾斜角为，则　　

6、AF

7、=

8、AA1

9、=p+

10、AF

11、cos,

12、BF

13、=

14、BB1

15、=p-

16、BF

17、cos,　　∴.　　,　　当且仅当=90°时，即弦AB为抛物线的通径时，它的长度最小且为2p．　　结论6：以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线l相切(如图)．　　事实上，取弦AB的中点C，作CC1⊥l，垂足为C1.则　　.　　这表明圆心C到准线l4的距离等于半径，故以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切．　　结论7：以抛物线焦半径

18、AF

19、为直径的圆与y轴相切．　　事实上，.

20、　　设AF的中点为D，则，∴D到y轴的距离.　　这表明圆心D到y轴的距离等于半径，故以抛物线焦半径

21、AF

22、为直径的圆与y轴相切．　　结论8：A1F⊥B1F（如图）　　事实上，设，则　　，。　　。　　由结论2有y1y2=-p2,∴,即A1F⊥B1F。　　结论9：若M为A1B1的中点，则MF⊥AB。　　事实上，当AB⊥x轴时，显然有MF⊥AB。　　当AB与x轴不垂直时，。　　由结论2，有，，，即MF⊥AB。　　结论10：在梯形AA1B1B中，两对角线AB1与BA1相交于点抛物线顶点O。　　　　　事实上，当AB⊥x轴时，此

23、时易得，结论显然成立。4　　当AB与x轴不垂直时，设、，　　则，　　，　　∴，∴AB1经过原点O。　　同理A1B经过原点O。4