导数应用练习题答案(10)

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1、导数应用练习题答案1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值。；；；解：该函数在给定闭区间上连续，其导数为，在开区间上可导，而且，，满足罗尔定理，至少有一点，使，解出。解：该函数在给定闭区间上连续，其导数为，在开区间上可导，而且，，满足罗尔定理，至少有一点，使，解出。解：该函数在给定闭区间上连续，其导数为，在开区间上可导，而且，，满足罗尔定理，至少有一点，使，解出。解：该函数在给定闭区间上连续，其导数为，在开区间上可导，而且，，满足罗尔定理，至少有一点，使，解出。

2、2.下列函数在给定区域上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值。；；解：该函数在给定闭区间上连续，其导数为，在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点，使，即，解出。解：该函数在给定闭区间上连续，其导数为，即在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点，使，即，解出。解：该函数在给定闭区间上连续，其导数为，即在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点，使，即，解出。3.不求导数，判断函数的导数有几个实根及根所在的范围。答案：有三个根，分别在4证明：当时，恒等式成立

3、证：设当时，连续，当时，可导且即当时，，即故当时，5设在上连续，在内可导，且，证明在内存在一点，使证明：令，则在上连续，在内可导，且因，则即在上满足罗尔定理的条件，则至少存在使又，即而，得6.已知函数在上连续，在内可导，且，证明在内至少存在一点，使得证明：令，则在上连续，在内可导，且即在上满足罗尔定理的条件，则至少存在使又，即，故7.证明不等式：证明：设函数，，，不妨设，该函数在区间上连续，在上可导，由拉格朗日中值定理有，即，故，由于，所以有8.证明不等式：证明：设函数，在上连续，在内可导，满足拉格

4、朗日定理条件，故，其中，因此有所以9.利用洛必达法则求下列极限：；解：；解：；解：；解：解：；解：；解：；解：；解：10.设函数，若在点处可导，求与的值。解：由于函数在处可导，因此函数在该点连续，由连续的概念有，即按导数定义有11.设函数，当为何值时，在点处连续。解：函数连续定义，，，而；即当时，函数在点连续。12.求下列函数的单调增减区间：；解：，有驻点，由于当时，，此时函数单调减少；由于当时，，此时函数单调增加；；解：，令，有，当时，，此时函数单调较少；当时，，此时函数单调增加；当时，，此时函数

5、单调较少；当时，，此时函数单调增加；解：，令，有，此外有原函数知，当时，，此时函数单调增加；当时，，此时函数单调减少；当时，，此时函数单调减少；当时，，此时函数单调增加；13.证明函数单调增加。证明：，等号仅在成立，所以函数在定义区间上为单调增加。14.证明函数单调减少。解：，等号仅在孤立点成立，所以函数在定义域内为单调减少。15.证明不等式：证明：设，在时，，且，当时，，函数单调增加，因此；当时，，函数单调减少，因此；所以对一切，且，都有，即16.证明：当时，解：设，当所以所以当所以所以17.证明

6、：当时，解：设，当所以，18.证明方程在内只有一个实根。证明：令，在上连续，且由零点定理存在，使，所以是方程在内的一个根。又因为，当时，函数单调递减，当时，，当时，，所以在内只有一个实根或用罗尔定理证明只有一个实根。19.求下列函数的极值：；解：，令，解出驻点为，函数在定义域内的单调性与极值见图表所示：00单调增加极大7单调减小极小3单调增加；解：，驻点为，函数的单调性与极值见表极小极大单调减小单调增加单调减少；解：，驻点为，二阶导数为，显然，函数在点取极小值，在处取极大值。；解：，函数在处不可导，

7、以此点为界划分区间并给出函数单调性与极值。不存在单调增加极大3单调减少；解：函数导数为，解出驻点为，不可导点为，函数在各个区间的单调性见表格所示。不存在0单调增加极大0单调减少极小单调增加解：，驻点为，不可导点为，划分区间并判断增减性与极值单调增加无极值单调增加单调减少极小单调增加20.设，求函数的极值，曲线的拐点。解：，解出，，极小值，解出，10+0y凸ln2凹ln2凸拐点21.利用二阶导数，判断下列函数的极值：；解：，，驻点：，，，因此在点函数取极大值；，因此在点函数取极小值；解：，，驻点为，由

8、于，因此在处函数取得极小值。22.曲线过原点，在点处有水平切线，且点是该曲线的拐点，求解：因为曲线过原点，有，在点处有水平切线，，点是该曲线的拐点，，，又因为点在曲线上，联立方程组解出23.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：；解：，令，得驻点为，计算出驻点处和区间端点处所有的函数值为，比较上述函数值，知最大值为；最小值为。；解：，令，得驻点为，计算出驻点处和区间端点处所有的函数值为，比较上述函数值，知最大值为；最小值为；解：，令，得驻点为，计算出驻点处和区间端点