导数及其应用(10)

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1、导数及其应用一、变化率与导数、导数的运算（一）利用导数的定义求函数的导数1、相关链接（1）根据导数的定义求函数在点处导数的方法：①求函数的增量；②求平均变化率；③得导数，简记作：一差、二比、三极限。（2）函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数。2、例题解析〖例1〗求函数y=的在x=1处的导数。〖例2〗一质点运动的方程为。（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法）（二）导数的运算1、相关链接（1）

2、运用可导函数求导法则和导数公式，求函数在开区间（a,b）内的导数的基本步骤：①分析函数的结构和特征；②选择恰当的求导法则和导数公式求导；③整理得结果。（2）对较复杂的函数求导数时，诮先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便。（3）复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决。①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间

3、变量；③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程。2、例题解析〖例〗求下列函数的导数。（三）导数的几何意义【例】已知曲线，（1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程；（2）求曲线过点P(2,4)的切线方程；（3）求斜率为4的曲线的切线方程。二、导数在函数中的应用与生活中的优化问题举例（一）利用导数研究函数的单调性1、相关链接（1）求可导函数单调区间的一般步骤和方法，如下图：即：①确定函数f(x)的定义域;②求f

4、’(x)，令f’(x)=0，求出它们在定义域内的一切实根；③把函数f(x)的间断点（即f(x)无定义点）的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间。④确定f’(x)在各个开区间内的符号，根据f’(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性。注：当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f’(x)>0（或f’(x)<0）直接得到单调递增（或递减）区间。（2）证明可导函数f(x)在（a,b）内的单调性的步骤①求f’(x);②确认f’(x)在（a,b）内的符号；③

5、作出结论：f’(x)>0时为增函数；f’(x)<0时为减函数。（3）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数f(x)在（a,b）上递增（或递减）的充要条件应是f’(x)≥0（或f’(x)≤0），x∈（a,b）恒成立，且f’(x)在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f’(x)=0，甚至可以在无穷多个点处f’(x0)=0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间。2、例题解析〖例〗】(2011·北京模拟)若函数f(x)=lnx-ax2-2x存在单调递减

6、区间,求实数a的取值范围.（二）利用导数研究函数的极值与最值1、相关链接（1）求函数f(x)极值的步骤即：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f’(x);③求方程f’(x)=0的根。④检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点（最好通过列表法）。如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果f’(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)不是函数极值。（2）可导函数极值存在的条件①可导函数的极值点x0一定满足f’(x0)=0,但当f’(x0)=0时，x0不一定是极值点。

7、如f(x)=x3,f’(0)=0,但x=0不是极值点。②可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f’(x)=0，且在x0左侧与右侧f’(x0)的符号不同。（3）设函数f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤①求函数y=f(x)在（a,b）内的极值；②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。③根据最值的定义，求在闭区间[a,b]上连续，开区间（a,b）,内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用

8、判断使f’(x)=0成立的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大（小）值。④定义在开区间（a,b）上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点。2、例题解析〖例1〗已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5,记f(x)的导数为f′(x).(1)若曲