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1、2018北师大版高中数学必修三模拟方法概率的应用巩固提升试题含解析[A 基础达标]1.已知集合A={x
2、-13、24、25、(C)=4-π4<14;对D,P(D)=1π,显然P(A)最大,因此应选游戏盘A.3.如图所示,边长为2的正方形内有一封闭曲线围成的阴影区域.向正方形中随机扔一粒豆子,若它落在阴影区域内的概率为23,则阴影区域的面积为( )A.43B.83C.23D.无法计算解析:选B.设阴影区域的面积为S,依题意,得23=S2×2,所以S=83.故选B.4.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为( )A.13B.23C.12D.34解析:选B.先求点P到点O的距离小于或等于1的概率,圆柱的体积V圆柱=π×12×2=2π6、,以O为球心,1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球=12×43π×13=23π.则点P到点O的距离小于或等于1的概率为23π2π=13,故点P到点O的距离大于1的概率为1-13=23.5.已知A是圆O上固定的一点,在圆上其他位置任取一点A′,连接AA′,它是一条弦,则它的长度小于或等于半径长度的概率为( )A.12B.32C.13D.14解析:选C.如图,当AA′的长度等于半径长度时,∠AOA′=60°,由圆的对称性及几何概型得P=120°360°=13.故选C.6.广告法对插播广告时间有规定,某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论,他任意时间打开电视机看该台节目,看不到广告的概率约7、为910,那么该台每小时约有________分钟广告.解析:这是一个与时间长度有关的几何概型,这个人看不到广告的概率为910,则看到广告的概率约为110,故60×110=6.答案:67.水池的容积是20m3,水池里的水龙头A和B的水流速度都是1m3/h,它们一昼夜(0~24h)内随机开启,则水池不溢水的概率为________.解析:如图所示,横坐标和纵坐标分别表示A,B两水龙头开启的时间,则阴影部分是满足不溢水的对应区域,因为正方形区域的面积为24×24,阴影部分的面积是12×20×20,所以所求的概率P=12×20×2024×24=2572.答案:25728.已知方程x2+3x+p4+1=08、,若p在[0,10]中随机取值,则方程有实数根的概率为________.解析:因为总的基本事件是[0,10]内的全部实数,所以基本事件总数为无限个,符合几何概型的条件,事件对应的测度为区间的长度,总的基本事件对应区间[0,10],长度为10,而事件“方程有实数根”应满足Δ≥0,即9-4×1×p4+1≥0,得p≤5,所以对应区间[0,5],长度为5,所以所求概率为510=12.答案:129.平面上画了一些彼此相距2a的平行线,把一枚半径r9、垂线OM,垂足为M,如图,这样线段OM长度(记作10、OM11、)的取值范围是[0,a],只有当r<12、OM13、≤a时,硬币不与平行线相碰,其长度范围是(r,a].所以P(A)=(r,a]的长度[0,a]的长度=a-ra.10.小明每天早上在六点半至七点半之间离开家去学校上学,小强每天早上六点至七点之间到达小明家,约小明一同前往学校,问小强能见到小明的概率是多少?解:如图所示,方形区域内任一点的横坐标x表示小强到达小明家的时间,纵坐标y表示小明离开家的时间,(x,y)可以看成平面中的点,试验的全部结果构成的区域为Ω={(x,y)14、6≤x≤7,6.5≤y≤7.5},这是一个正方形区域,面积为SΩ=1×1=115、.事件A表示“小强能见到小明”,所构成的区域为A={(x,y)16、6≤x≤7,6.5≤y≤7.5,y≥x},如图中阴影部分所示,面积为SA=1-12×12×12=78.所以P(A)=SASΩ=78,即小强能见到小明的概率是78.[B 能力提升]11.在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≥12”的概率,p2为事件“17、x-y18、≤12”的概率,p3为事件“xy≤12”的概率,则(
3、24、25、(C)=4-π4<14;对D,P(D)=1π,显然P(A)最大,因此应选游戏盘A.3.如图所示,边长为2的正方形内有一封闭曲线围成的阴影区域.向正方形中随机扔一粒豆子,若它落在阴影区域内的概率为23,则阴影区域的面积为( )A.43B.83C.23D.无法计算解析:选B.设阴影区域的面积为S,依题意,得23=S2×2,所以S=83.故选B.4.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为( )A.13B.23C.12D.34解析:选B.先求点P到点O的距离小于或等于1的概率,圆柱的体积V圆柱=π×12×2=2π6、,以O为球心,1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球=12×43π×13=23π.则点P到点O的距离小于或等于1的概率为23π2π=13,故点P到点O的距离大于1的概率为1-13=23.5.已知A是圆O上固定的一点,在圆上其他位置任取一点A′,连接AA′,它是一条弦,则它的长度小于或等于半径长度的概率为( )A.12B.32C.13D.14解析:选C.如图,当AA′的长度等于半径长度时,∠AOA′=60°,由圆的对称性及几何概型得P=120°360°=13.故选C.6.广告法对插播广告时间有规定,某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论,他任意时间打开电视机看该台节目,看不到广告的概率约7、为910,那么该台每小时约有________分钟广告.解析:这是一个与时间长度有关的几何概型,这个人看不到广告的概率为910,则看到广告的概率约为110,故60×110=6.答案:67.水池的容积是20m3,水池里的水龙头A和B的水流速度都是1m3/h,它们一昼夜(0~24h)内随机开启,则水池不溢水的概率为________.解析:如图所示,横坐标和纵坐标分别表示A,B两水龙头开启的时间,则阴影部分是满足不溢水的对应区域,因为正方形区域的面积为24×24,阴影部分的面积是12×20×20,所以所求的概率P=12×20×2024×24=2572.答案:25728.已知方程x2+3x+p4+1=08、,若p在[0,10]中随机取值,则方程有实数根的概率为________.解析:因为总的基本事件是[0,10]内的全部实数,所以基本事件总数为无限个,符合几何概型的条件,事件对应的测度为区间的长度,总的基本事件对应区间[0,10],长度为10,而事件“方程有实数根”应满足Δ≥0,即9-4×1×p4+1≥0,得p≤5,所以对应区间[0,5],长度为5,所以所求概率为510=12.答案:129.平面上画了一些彼此相距2a的平行线,把一枚半径r9、垂线OM,垂足为M,如图,这样线段OM长度(记作10、OM11、)的取值范围是[0,a],只有当r<12、OM13、≤a时,硬币不与平行线相碰,其长度范围是(r,a].所以P(A)=(r,a]的长度[0,a]的长度=a-ra.10.小明每天早上在六点半至七点半之间离开家去学校上学,小强每天早上六点至七点之间到达小明家,约小明一同前往学校,问小强能见到小明的概率是多少?解:如图所示,方形区域内任一点的横坐标x表示小强到达小明家的时间,纵坐标y表示小明离开家的时间,(x,y)可以看成平面中的点,试验的全部结果构成的区域为Ω={(x,y)14、6≤x≤7,6.5≤y≤7.5},这是一个正方形区域,面积为SΩ=1×1=115、.事件A表示“小强能见到小明”,所构成的区域为A={(x,y)16、6≤x≤7,6.5≤y≤7.5,y≥x},如图中阴影部分所示,面积为SA=1-12×12×12=78.所以P(A)=SASΩ=78,即小强能见到小明的概率是78.[B 能力提升]11.在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≥12”的概率,p2为事件“17、x-y18、≤12”的概率,p3为事件“xy≤12”的概率,则(
4、25、(C)=4-π4<14;对D,P(D)=1π,显然P(A)最大,因此应选游戏盘A.3.如图所示,边长为2的正方形内有一封闭曲线围成的阴影区域.向正方形中随机扔一粒豆子,若它落在阴影区域内的概率为23,则阴影区域的面积为( )A.43B.83C.23D.无法计算解析:选B.设阴影区域的面积为S,依题意,得23=S2×2,所以S=83.故选B.4.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为( )A.13B.23C.12D.34解析:选B.先求点P到点O的距离小于或等于1的概率,圆柱的体积V圆柱=π×12×2=2π6、,以O为球心,1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球=12×43π×13=23π.则点P到点O的距离小于或等于1的概率为23π2π=13,故点P到点O的距离大于1的概率为1-13=23.5.已知A是圆O上固定的一点,在圆上其他位置任取一点A′,连接AA′,它是一条弦,则它的长度小于或等于半径长度的概率为( )A.12B.32C.13D.14解析:选C.如图,当AA′的长度等于半径长度时,∠AOA′=60°,由圆的对称性及几何概型得P=120°360°=13.故选C.6.广告法对插播广告时间有规定,某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论,他任意时间打开电视机看该台节目,看不到广告的概率约7、为910,那么该台每小时约有________分钟广告.解析:这是一个与时间长度有关的几何概型,这个人看不到广告的概率为910,则看到广告的概率约为110,故60×110=6.答案:67.水池的容积是20m3,水池里的水龙头A和B的水流速度都是1m3/h,它们一昼夜(0~24h)内随机开启,则水池不溢水的概率为________.解析:如图所示,横坐标和纵坐标分别表示A,B两水龙头开启的时间,则阴影部分是满足不溢水的对应区域,因为正方形区域的面积为24×24,阴影部分的面积是12×20×20,所以所求的概率P=12×20×2024×24=2572.答案:25728.已知方程x2+3x+p4+1=08、,若p在[0,10]中随机取值,则方程有实数根的概率为________.解析:因为总的基本事件是[0,10]内的全部实数,所以基本事件总数为无限个,符合几何概型的条件,事件对应的测度为区间的长度,总的基本事件对应区间[0,10],长度为10,而事件“方程有实数根”应满足Δ≥0,即9-4×1×p4+1≥0,得p≤5,所以对应区间[0,5],长度为5,所以所求概率为510=12.答案:129.平面上画了一些彼此相距2a的平行线,把一枚半径r9、垂线OM,垂足为M,如图,这样线段OM长度(记作10、OM11、)的取值范围是[0,a],只有当r<12、OM13、≤a时,硬币不与平行线相碰,其长度范围是(r,a].所以P(A)=(r,a]的长度[0,a]的长度=a-ra.10.小明每天早上在六点半至七点半之间离开家去学校上学,小强每天早上六点至七点之间到达小明家,约小明一同前往学校,问小强能见到小明的概率是多少?解:如图所示,方形区域内任一点的横坐标x表示小强到达小明家的时间,纵坐标y表示小明离开家的时间,(x,y)可以看成平面中的点,试验的全部结果构成的区域为Ω={(x,y)14、6≤x≤7,6.5≤y≤7.5},这是一个正方形区域,面积为SΩ=1×1=115、.事件A表示“小强能见到小明”,所构成的区域为A={(x,y)16、6≤x≤7,6.5≤y≤7.5,y≥x},如图中阴影部分所示,面积为SA=1-12×12×12=78.所以P(A)=SASΩ=78,即小强能见到小明的概率是78.[B 能力提升]11.在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≥12”的概率,p2为事件“17、x-y18、≤12”的概率,p3为事件“xy≤12”的概率,则(
5、(C)=4-π4<14;对D,P(D)=1π,显然P(A)最大,因此应选游戏盘A.3.如图所示,边长为2的正方形内有一封闭曲线围成的阴影区域.向正方形中随机扔一粒豆子,若它落在阴影区域内的概率为23,则阴影区域的面积为( )A.43B.83C.23D.无法计算解析:选B.设阴影区域的面积为S,依题意,得23=S2×2,所以S=83.故选B.4.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为( )A.13B.23C.12D.34解析:选B.先求点P到点O的距离小于或等于1的概率,圆柱的体积V圆柱=π×12×2=2π
6、,以O为球心,1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球=12×43π×13=23π.则点P到点O的距离小于或等于1的概率为23π2π=13,故点P到点O的距离大于1的概率为1-13=23.5.已知A是圆O上固定的一点,在圆上其他位置任取一点A′,连接AA′,它是一条弦,则它的长度小于或等于半径长度的概率为( )A.12B.32C.13D.14解析:选C.如图,当AA′的长度等于半径长度时,∠AOA′=60°,由圆的对称性及几何概型得P=120°360°=13.故选C.6.广告法对插播广告时间有规定,某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论,他任意时间打开电视机看该台节目,看不到广告的概率约
7、为910,那么该台每小时约有________分钟广告.解析:这是一个与时间长度有关的几何概型,这个人看不到广告的概率为910,则看到广告的概率约为110,故60×110=6.答案:67.水池的容积是20m3,水池里的水龙头A和B的水流速度都是1m3/h,它们一昼夜(0~24h)内随机开启,则水池不溢水的概率为________.解析:如图所示,横坐标和纵坐标分别表示A,B两水龙头开启的时间,则阴影部分是满足不溢水的对应区域,因为正方形区域的面积为24×24,阴影部分的面积是12×20×20,所以所求的概率P=12×20×2024×24=2572.答案:25728.已知方程x2+3x+p4+1=0
8、,若p在[0,10]中随机取值,则方程有实数根的概率为________.解析:因为总的基本事件是[0,10]内的全部实数,所以基本事件总数为无限个,符合几何概型的条件,事件对应的测度为区间的长度,总的基本事件对应区间[0,10],长度为10,而事件“方程有实数根”应满足Δ≥0,即9-4×1×p4+1≥0,得p≤5,所以对应区间[0,5],长度为5,所以所求概率为510=12.答案:129.平面上画了一些彼此相距2a的平行线,把一枚半径r9、垂线OM,垂足为M,如图,这样线段OM长度(记作10、OM11、)的取值范围是[0,a],只有当r<12、OM13、≤a时,硬币不与平行线相碰,其长度范围是(r,a].所以P(A)=(r,a]的长度[0,a]的长度=a-ra.10.小明每天早上在六点半至七点半之间离开家去学校上学,小强每天早上六点至七点之间到达小明家,约小明一同前往学校,问小强能见到小明的概率是多少?解:如图所示,方形区域内任一点的横坐标x表示小强到达小明家的时间,纵坐标y表示小明离开家的时间,(x,y)可以看成平面中的点,试验的全部结果构成的区域为Ω={(x,y)14、6≤x≤7,6.5≤y≤7.5},这是一个正方形区域,面积为SΩ=1×1=115、.事件A表示“小强能见到小明”,所构成的区域为A={(x,y)16、6≤x≤7,6.5≤y≤7.5,y≥x},如图中阴影部分所示,面积为SA=1-12×12×12=78.所以P(A)=SASΩ=78,即小强能见到小明的概率是78.[B 能力提升]11.在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≥12”的概率,p2为事件“17、x-y18、≤12”的概率,p3为事件“xy≤12”的概率,则(
9、垂线OM,垂足为M,如图,这样线段OM长度(记作
10、OM
11、)的取值范围是[0,a],只有当r<
12、OM
13、≤a时,硬币不与平行线相碰,其长度范围是(r,a].所以P(A)=(r,a]的长度[0,a]的长度=a-ra.10.小明每天早上在六点半至七点半之间离开家去学校上学,小强每天早上六点至七点之间到达小明家,约小明一同前往学校,问小强能见到小明的概率是多少?解:如图所示,方形区域内任一点的横坐标x表示小强到达小明家的时间,纵坐标y表示小明离开家的时间,(x,y)可以看成平面中的点,试验的全部结果构成的区域为Ω={(x,y)
14、6≤x≤7,6.5≤y≤7.5},这是一个正方形区域,面积为SΩ=1×1=1
15、.事件A表示“小强能见到小明”,所构成的区域为A={(x,y)
16、6≤x≤7,6.5≤y≤7.5,y≥x},如图中阴影部分所示,面积为SA=1-12×12×12=78.所以P(A)=SASΩ=78,即小强能见到小明的概率是78.[B 能力提升]11.在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≥12”的概率,p2为事件“
17、x-y
18、≤12”的概率,p3为事件“xy≤12”的概率,则(
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